五年级奥数行程问题 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 4:50:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

五年级奥数第八讲

———行程问题(二)

教学目标:

1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点;

2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题; 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”;

4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程,利用方程解行程题.

知识精讲:

比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用v甲,v乙;t甲,t乙;s甲,s乙来表示,大体可分为以下两种情况: 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过

的路程之比就等于他们的速度之比。

?s甲?v甲?t甲s甲s乙,这里因为时间相同,即,所以由 t?t?tt?,t??乙乙甲甲v甲v乙?s乙?v乙?t乙得到t?s甲s乙s甲v甲,,甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 ??v甲v乙s乙v乙2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2个物体

所用的时间之比等于他们速度的反比。

?s甲?v甲?t甲,这里因为路程相同,即s甲?s乙?s,由s甲?v甲?t??s乙?v乙?t乙得s?v甲?t甲?v乙?t乙,

甲s,乙?vt?乙乙

v甲t乙?,甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度v乙t甲比的反比。

行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件; ⑵图示法

在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次

相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法; ⑶比例法

行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题; ⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来; ⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.

例题精讲:

模块一、时间相同速度比等于路程比

【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行,甲、乙的速度之比是 4 :

3,二人相遇后继续行进,甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回,已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米,则 A、 B 两地相距多少千米?

【解析】 两个人同时出发相向而行,相遇时时间相等,路程比等于速度之比,即两个人相遇

时所走过的路程比为 4 : 3.第一次相遇时甲走了全程的4/7;第二次相遇时甲、乙

45?3?1个全程,与第一次相遇地775422点的距离为?(1?)?个全程.所以 A、 B两地相距30??105 (千米).

7777两个人共走了 3个全程,三个全程中甲走了

【例 2】 B地在A,C两地之间.甲从B地到A地去送信,甲出发10分后,乙从B地出

发到C地去送另一封信,乙出发后10分,丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了,于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙,以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等,丙的速度是甲、乙速度的3倍,丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下:

A10分钟10分钟B10分钟C

因为丙的速度是甲、乙的3倍,分步讨论如下:

(1) 若丙先去追及乙,因时间相同丙的速度是乙的3倍,比乙多走两倍乙走需

要10分钟,所以丙用时间为:10÷(3-1)=5(分钟)此时拿上乙拿错的信

A10分钟10分钟B10分钟5分钟5分钟C

当丙再回到B点用5分钟,此时甲已经距B地有10+10+5+5=30(分钟),同理丙追及时间为30÷(3-1)=15(分钟),此时给甲应该送的信,换回乙应该送的信

在给乙送信,此时乙已经距B地:10+5+5+15+15=50(分钟), 此时追及乙需要:50÷(3-1)=25(分钟),返回B地需要25分钟 所以共需要时间为5+5+15+15+25+25=90(分钟)

(2) 同理先追及甲需要时间为120分钟

【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发,甲每分钟行80米,

乙每分钟行60米,出发一段时间后,两人在距中点的C处相遇;如果甲出发后在途中某地停留了7分钟,两人将在距中点的D处相遇,且中点距C、D距离相等,问A、B两点相距多少米?

【分析】 甲、乙两人速度比为80:60?4:3,相遇的时候时间相等,路程比等于速度之比,

43相遇时甲走了全程的,乙走了全程的.第二次甲停留,乙没有停留,且前后

7743两次相遇地点距离中点相等,所以第二次乙行了全程的,甲行了全程的.由

77于甲、乙速度比为4:3,根据时间一定,路程比等于速度之比,所以甲行走期间乙

334331走了?,所以甲停留期间乙行了???,所以A、B两点的距离为

747744160?7?=1680(米).

4

【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度之

比是 5 : 4,相遇后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%.这样当甲到达 B 地时,乙离 A地还有 10 千米.那么 A、B 两地相距多少千米? 【解析】 两车相遇时甲走了全程的

54,乙走了全程的,之后甲的速度减少 20%,乙的速99度增加 20%,此时甲、乙的速度比为5?(1?20%):4?(1?20%)?5:6 ,所以甲到达 B 地时,乙又走了的距离为10?468581??,距离 A地??,所以 A、 B 两地9515915451?450 (千米). 45

【例 5】 早晨,小张骑车从甲地出发去乙地.下午 1 点,小王开车也从甲地出发,前往

乙地.下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米.下午 4 点时小王到达乙地,晚上 7 点小张到达乙地.小张是早晨几点出发?

3

【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块.下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米.下

午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米,所以下午 2 点时小王距小张 15 千米,下午 3 点时小王超过小张 15千米,可知两人的速度差是每小时 30 千米.由下午 3 点开始计算,小王再有 1 小时就可走完全程,在这 1 小时当中,小王比小张多走 30 千米,那小张 3 小时走了15 30 45? ? 千米,故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时,小王的速度是15 +30 =45千米/时.全程是 45 ×3 =135千米,小张走完全程用了135 +15= 9小时,所以他是上午 10 点出发的。

【例 6】 从甲地到乙地,需先走一段下坡路,再走一段平路,最后再走一段上坡路。其中

下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时,其中第一小时比第二小时多走 15 千米,第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米,走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米?

【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确,所以需要先予以确定.

从甲地到乙地共用3小时,如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路,也就是说走上坡路的路程不需要1小时,那么由于下坡路与上坡路距离相等,而下坡速度更快,所以下坡更用不了1小时,这说明第一小时既走完了下坡路,又走了一段平路,而第二小时则是全在走平路.这样的话,由于下坡速度大于平路速度,所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程,而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米,所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米,不合题意,所以假设不成立,即第三小时全部在走上坡路.

如果第一小时全部在走下坡路,那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路,这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程,而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米,也不合题意,所以假设也不成立,故第一小时已走完下坡路,还走了一段平路.

所以整个行程为:第一小时已走完下坡路,还走了一段平路;第二小时走完平路,还走了一段上坡路;第三小时全部在走上坡路.

⑵由于第二小时比第三小时多走25千米,而走平路比走上坡路的速度快每小时30

千米.所以第二小时内用在走平路上的时间为25?30?上坡路;

因为第一小时比第二小时多走了15千米,而

15小时,其余的小时在走

661小时的下坡路比上坡路要多走6?30?15??1?7.5千米,那么第一小时余下的下坡路所用的时间为61121小时,所以在第一小时中,有??小时是在下坡路上走的,

2632?15?7.5??15?剩余的

1小时是在平路上走的. 32157因此,陈明走下坡路用了小时,走平路用了??小时,走上坡路用了

36631?17?小时. 66