内容发布更新时间 : 2024/5/19 8:35:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

北京各区二模理科数学分类汇编

立几

(西城二模) 8．在长方体

，点M 为AB1 的中点，点P 为对角线

AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合），则MP＋PQ 的最小值为（ ）

(西城二模) 17．（本小题满分14 分）

如图 1，在边长为4 的菱形ABCD中，?BAD?600,DE?AB于点E ，将△ADE沿DE

折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC ，如图 2．

⑴ 求证：A1E⊥平面BCDE ；⑵ 求二面角E—A1B—C的余弦值；

⑶ 判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面A1DP⊥A1BC ？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

A1

D

E

B

C

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为DE?BE,BE//DC,

所以DE?DC, ……………… 1分 又因为

A1D?DC，A1DDE?D,

所以DC所以DC 又因为所以

?平面A1DE， ……………… 2分

?A1E. A1E?DE,DC ……………… 3分

DE?D,

……………… 4分

A1E?平面BCDE.

（Ⅱ）解：因为A1E?平面BCDE，DE?BE，所以A1E,DE,BE两两垂直，以EB,ED,EA1分别为x轴、

y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分

易知DE?23,

则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(4,23,0)，D(0,23,0)， 所以BA1 平面

?(?2,0,2),BC?(2,23,0).

A1BE的一个法向量为n?， ……………… 6分 （0,1,0）z A1 DE

Bxy设平面A1BC的法向量为m?(x,y,z), 由BA1?m?0，BC?m?0,得????2x?2z?0,??2x?23y?0.

C

令 y?1, 得m?(?3,1,?3). ……………… 8分

所以cos?m,n??m?n|m|?|n|?77.

由图，得二面角E?A1B?C的为钝二面角，

所以二面角E?A1B?C的余弦值为?77. ……………… 10分

（Ⅲ）结论：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP 解：假设在线段EB上存在一点P，使平面A1DP?平面A1BC. ……………… 11分 ?平面A1BC.

设P(t,0,0)（0≤t≤2），则A1P?(t,0,?2),A1D?(0,23,?2)，…………… 12分

设平面A1DP的法向量为

p?(x1,y1,z1)，

由A1D?p?0，A1P?p?0，得???23y1?2z1?0,??tx1?2z1?0.

令 x1?2，得所以p?(2, 因为平面A1DPt,t). ……………… 13分 3?平面A1BC，

t3?3t?0，

所以m?p?0，即23?解得t??3. 因为0≤t≤2，

所以在线段EB上不存在点P，使得平面A1DP(海淀二模)

?平面A1BC. ……………… 14分

答案：C (海淀二模)

（17）（共14分） （Ⅰ）证明：连结BD交

PAC于点O，连结OM.

因为 AB//CD，AB?2CD，

MBOAB所以 ??2.

DOCD因为 BM?2MP，

BM所以 ?2.

PMABMBO所以 . ?OPMDO所以 OM//PD. ………………2分 DC因为 OM?平面MAC，PD?平面MAC，

所以 PD//平面MAC. ………………4分

（Ⅱ）证明：因为 平面PAD?平面

BABCD，AD?AB，平面PAD平面

ABCD?AD，AB?平面

ABCD，

所以AB?平面PAD. ………………6分 因为 PA?平面PAD，

所以 AB?PA. ………………7分 同理可证：AD?PA.

因为 AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，ADAB?A，

所以PA?平面ABCD. ………………9分

（Ⅲ）解：分别以边

AD,AB,AP所在直线为

x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由