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2017全国各地中考数学压轴题汇编之一

11．（2017江苏淮安，28，14分）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝?x2?bx?c3的图像与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）填空：b＝________，c＝________；

（2）在点P、Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在x轴下方，该二次函数的图像上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由； （4）如图②，点N的坐标为（?3，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线2NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．

yCPAQyCPHByCOxANOQBxAOBx图① 图② 备用图

1【分析】（1）将A（－3，0）、B（4，0）代入y＝?x2?bx?c即可求解；（2）若△APQ为

3直角三角形，则∠APQ＝90°（∠PAQ与∠PQA不可能为直角）．连接QC，则AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2，据此列出关于t的方程求解，若t的值满足0≤t≤4，则△APQ可能是直角三角形，否则不可能；（3）①过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE，QE⊥DE，垂足分别为D、E，构成“一线三直角”全等模型，用含t的式子表示点M的坐标；②将点M的坐标代入二次函数的表达式求解；（4）①分别求直线BC、直线NQ′的函数表达式；②解直线BC、NQ′的函数达式组成的方程组．

1【解析】（1）b＝，c＝4．

3（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：

若△APQ是直角三角形，因为在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，所以∠

2

APQ＝90°．

∴AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2． 连接QC．

11由（1）知抛物线的函数表达式为y＝?x2?x?4，当x＝0时，y＝4．

33∴C（0，4）． ∴OC＝4． ∵A（－3，0）， ∴OA＝3．

由题意，得AP＝OQ＝t． ∴AQ＝OA＋OQ＝3?t．

在Rt△AOC中，由勾股定理得AC＝OA2?OC2＝32?42＝5． ∴PC＝5?t．

在Rt△OCQ中，QC2＝OQ2＋OC2＝t2?42． ∵∠APQ＝90°，

∴AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2． ∴(3?t)2?t2＝t2?42?(5?t)2． 解得t＝4.5． 由题意知0≤t≤4．

∴t＝4.5不符合题意，舍去．

∴在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．

yCPAQOBx （3）如图，过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为点D、E，MD交x轴于点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠D＝∠E＝90°． ∴△APG∽△ACO． ∴

PGAGAPPGAGt＝＝，即＝＝． OCOAAC435 3

43∴PG＝t，AG＝t．

55324∴PE＝GQ＝GO＋OQ＝AO－AG＋OQ＝3?t?t＝3?t，DF＝EQ＝t．

555∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，

∴∠DMP＋∠DPM＝∠EPQ＋∠DPM＝90°． ∴∠DMP＝∠EPQ． 又∵∠D＝∠E，PM＝PQ， ∴△MDP≌△PEQ．

42∴PD＝EQ＝t，MD＝PE＝3?t．

55242∴AM＝MD－DF＝3?t?t＝3?t，

555431OF＝FG＋GO＝PD＋OA－AG＝t?3?t＝3?t．

55512∴M（?3?t，?3?t）．

55∵点M在x轴下方的抛物线上，

21111∴?3?t＝?(?3?t)2?(?3?t)?4．

53535解得t＝?65?5205．

2∵0≤t≤4， ∴t＝?65?5205．

2yCDFPEAMGOQBx （4）Q′（

622，）． 77提示：连接OP，取OP中点R，连接RH、NR，延长NR交线段BC于点Q′． ∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，