内容发布更新时间 : 2024/12/28 12:07:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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yCQ?PRAHQNOBx 2．(2017江苏南京，27，11分)折纸的思考． 【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形．

【数学思考】

（2）如图④．小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．

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【问题解决】

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．

【分析】（1）由折叠的性质，线段垂直平分线的性质可判断； （2）根据旋转的性质和位似变换直接作图，写出过程即可； （3）根据图形，由勾股定理和等边三角形的性质求解； （4）由勾股定理和正方形的性质的性质直接求解． 【解析】（1）由折叠，PB＝PC，EF是BC的垂直平分线， ∴PB＝PC， ∴PB＝PC＝BC ， ∴△PBC是等边三角形． （2）本题答案不惟一．例如，

如图，以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1B1C1；

再以点B为位似中心，将△P1B1C1放大，使C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2． （3）

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当等边三角形的边长为3cm，acm为高时，则a＝

3 32

，

当等边三角形的边长为acm，3cm为高时，则a＝2 3， 然后分0＜a≤

3 32

，3 32

＜a＜2 3，a≥2 3画出示意图．

（4）5．

当以4cm的直角边与正方形的边重合时，边长为4cm，正方形的面积为16cm2； 当直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，两外两个顶点在边上时，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠C＝∠D＝90°． ∵∠BFE＝90°，

∴∠BFC＋∠EFD＝90°，∠BFC＋∠CBF＝90°， ∴∠EFD＝∠CBF， ∴△BCF∽△FDE， ∴BC∶DF＝BF∶EF． 设BC＝a，由BF＝4，

得CF＝ 16???2，则DF＝a－ 16???2， 可知a∶( a－ 16???2)＝4∶1 解得a＝．

51616

正方形得面积为25． 因为25＜16， 256

256

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所以a＝5．

16

3．（2017江苏连云港，27，14分）问题呈现：

如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，求证：2S

四边形EFGH

＝S矩形ABCD．（S表示面积）

实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．

如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH＝S

矩形ABCD

＋S矩形A1B1C1D1．

如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH＝11，HF＝29，求EG的长．

（2）如图5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E、H分别在边AB、AD上，BE＝1，DH＝2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG＝10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．