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2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编

9、解析几何部分

x2y22018A 4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左右焦点分别是F1,F2，

ab椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则?PF1F2的面积为 ◆答案：15

★解析：由对称性，不妨设点P?x0,y0?在第一象限，则x0?PT?PS2?2，y0?2PV?PU22?1

即P?2,1?。进而可得U?2,2?，S?4,1?，代入椭圆方程解得：a?20，b?5，从而

S?PF1F2?

11F1F2?y0??215?1?15。 222018B 6、设抛物线C:y2?2x的准线与x轴交于点A，过点B(?1,0)作一直线l与抛物线C相切于点K,过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M,N，则?KMN的面积为为 ◆答案：

1 2111y?1，MN:x?y?分别联立抛物线方程得到： kk2★解析:设直线l与MN的斜率为k，l:x?y2?222y?2?0（?），和y?y?1?0 （??） kk42对（?）由??0得k??；对（??）得yM?yN?k2211所以S?KMN?S?BMN?S?BAM?S?KBAN??AB?yM?yN?

22

?4?2

x2y2??1，F是C的焦点，A为C的右2017A 3、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为

910顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为

◆答案：

311 2★解析：由题意得A?3,0?，F?0,1?，设P点的坐标为3cos?,10sin?，其中???0,???????，则 2?SOAPF?S?OAP?S?OFP?311。 2

11311?3?10sin???3?cos??sin?????，可得面积最大值为2222017B 7、设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2?ay2?a2?0的焦距为4，则实数a的值为 ． ◆答案：

1?17 2x2y2?1，显然必须?a?0，故二次曲线为双曲线，其标准方程★解析：二次曲线方程可写成?2?aay2x2222222c?4a?a?4，为，则，注意到焦距，可知??1c?(?a)?(?a)?a?a22(?a)(?a)又a?0，所以a?

2018A 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y?4x的过点F(1,0)的弦，?AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O,A,B）．若PF平分?APB，求PF的所有可能值。

22?y3??y12??y2?????★解析：设A?，，,yB,yA,y?41??42??43??，由已知条件知y1,y2,y3两两不等且不为0.

??????21?17. 2设直线AB的方程为x?ty?1，由??x?ty?12得y?4ty?4?0，知y1y2??4，y1?y2?4t。① 2?y?4x?x2?y2?dx?ey?014?d?2设外接圆的方程为x?y?dx?ey?0，由?得 y??1??y?ey?0，2164y?4x???22知该四次方程的根即为0,y1,y2,y3，由根与系数关系得0?y1?y2?y3?0，即y1?y2??y3，② 又PF平分?APB，由角平分线定理得

PAPB?FAFB?y1y2，结合①②

所以

y1y2222?y3y12?2??????y?y23122?4PA4??y1?y2??y12?16?2y1?y2??? ???2222222?y1?y2??y2?16?2y2?y1?PB?y3y2?2??4?4????y3?y2???2?????y??y222?8?164y12?y2?1622221??8?22??16?4y??y?y1?16?y4241?64y12?192 2?64y2?192626222224即y1，y1?64y12y2?192y12?y2?64y12y2?192y2?y2y14?y12y2?y2?192?0

????⑴当y1?y2?0时，y2??y1，此时y3?0，得P与O重合，舍去。 ⑵当

24y14?y12y2?y2?192?0时，由①得

2?y2122?y2?192?y12y2?208，得

?22y12?y2?413?8?2y1y2，所以这样的y1,y2是存在的，对应的A,B也是存在的。

22?y3y1?y2?y12?y2?4208?4所以PF??1??1???13?1

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2018B 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中， A,B与C,D分别是椭圆

x2y2?:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点与上、下顶点．设P,Q是椭圆上且位于第一象限的两

ab点，满足OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明：线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形。