内容发布更新时间 : 2024/9/22 10:37:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
初高中数学衔接教材
1．二次根式
6 1.将下列式子化为最简二次根式：（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4xy(x?0)．
解：（1）12b?23b； （2）ab?a2.计算：3?(3?3)． 解：原式 =2b?ab(a?0)；（3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．
3?133?33?(3?3)=＝. 29?3(3?3)(3?3)3.化简：(3?2)2004?(3?2)2005．
解：(3?2)2004?(3?2)2005＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2) ＝?(3?2)?(3?2)???2004?(3?2) ＝12004?(3?2) ＝3?2．
1?2(0?x?1)． 2x2 4.化简：（1）9?45； （2）x?解：（1）原式?5?45?4?（2）原式=(x?)?x?(5)2?2?2?5?22?(2?5)2?2?5?5?2．
1x2111，∵0?x?1，∴?1?x， 所以，原式＝?x．
xxx2．因式分解
1. 十字相乘分解因式：（1）x－3x＋2； （2）x＋4x－12； （3）x?(a?b)xy?aby； （4）xy?1?x?y．
解：（1）x－3x＋2＝(x－1)(x－2); （2）x＋4x－12＝(x－2)(x＋6);
（3）x?(a?b)xy?aby＝(x?ay)(x?by); （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1)．
222. 求根公式分解因式：（1）x?2x?1； （2）x?4xy?4y．
22
2
2
2
2222解：（1）令x?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2∴x?2x?1=?x?(?1?2)??x?(?1?2)?
22????=(x?1?2)(x?1?2)．
（2）令x?4xy?4y=0，则x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y，
地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽苑山水1-606 电话：李老师 18991265436
22
∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]． 3. 判断根个数
1.判定下列关于x的方程的根的情况，如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0； （3） x－ax＋(a－1)＝0； （4）x－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a－4×1×(－1)＝a＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
2
2
2
2
2
2
2
a?a2?4a?a2?4， x2?． x1?22（3）由于该方程的根的判别式为：Δ＝a－4×1×(a－1)＝a－4a＋4＝(a－2)， 所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1． （4）由于该方程的根的判别式为Δ＝2－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根x1?1?1?a， x2?1?1?a； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
22
2
2
4.根与系数的关系（韦达定理） 1. 已知方程5x2?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
2
解：∵2是方程的一个根，∴5×2＋k×2－6＝0，∴k＝－7． 所以，方程就为5x－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－
2
2
2
33．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7． 552.已知关于x的方程x＋2(m－2)x＋m＋4＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m＋4．∵x1＋x2－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)－3 x1·x2＝21，即 [－2(m－2)]－3(m＋4)＝21，化简，得 m－16m－17＝0，解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x＋30x＋293＝0，Δ＝30－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17． 3.若x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
1133
?的值； （3）x1＋x2． x12x22
地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽苑山水1-606 电话：李老师 18991265436
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根，∴x1?x2??2
2
2
2
2
53，x1x2??． 2225497＋6＝， ∴| x1－x2|＝．
424（1）∵| x1－x2|＝x1+ x2－2 x1x2＝(x1＋x2)－4 x1x2＝(?)?4?(?)＝
52232（2）
x?x211??x12x22x?x223
3
212125325(?)2?2?(?)?3(x1?x2)?2x1x23722?4． ???239(x1x2)9(?)22422
2
（3）x1＋x2＝(x1＋x2)( x1－x1x2＋x2)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2)－3x1x2] ＝(－5.解一元二次不等式
1.解不等式：（1）x＋2x－3≤0； （2）x－x＋6＜0； （3）4x＋4x＋1≥0； （4）x－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x＜0．
2
2
2
2
2
2
5523215)×[(－)－3×(?)]＝－． 2228解：（1）∵Δ＞0，方程x＋2x－3＝0的解是x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为：－3≤x≤1．
（2）整理，得x－x－6＞0． ∵Δ＞0，方程x－x－6=0的解为：x1＝－2，x2＝3．∴所以，解为 x＜－2，或x＜3．
（3）(2x＋1)≥0.由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．
（4）(x－3)≤0.由于当x＝3时，(x－3)＝0成立；对实数x，(x－3)＜0都不成立，∴原不等式的解为 x＝3． （5）整理，得x－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数.
2
2
2
2
2
2
2
2
6.二元二次方程组解法
?x2?4y2?4?0,?x?y?7,1.解方程组(1)?; (2) ?;
xy?12.??x?2y?2?0.?x1?2,?x2?0,?x1?4,?x2?3,解：(1)原方程组的解是 ? ?; (2)原方程的解是:? ?;
y?0，y??1.y?3，y?4.?1?2?1?27.函数
1.求二次函数y＝－3x－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，
2
y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝－3x－6x＋1＝－3(x＋1)＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小； 2.已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽苑山水1-606
电话：李老师 18991265436
2
2
2