内容发布更新时间 : 2024/5/20 4:25:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第23炼 恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若?x?D，均有f?x??g?x??f?x?的图像始终在g?x?的下方 （2）若?x?D，均有f?x??g?x??f?x?的图像始终在g?x?的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题：
例1：已知不等式?x?1??logax在x??1,2?上恒成立，则实数a的取值范围是_________
2思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出y??x?1?的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则y?logax的图像应在
2y??x?1?的上方，所以应为单增的对数函数，即a?1，
另一方面，观察图像可得：若要保证在x??1,2?时不等式成立，只需保证在x?2时，?x?1??logax即可，代入
22x?2可得：1?loga2?a?2，综上可得：1?a?2
答案：1?a?2
小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。
（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的x?2） （3）处理好边界值是否能够取到的问题
例2：若不等式logax?sin2x(a?0,a?1)对于任意的x??0,值范围是___________
思路：本题选择数形结合，可先作出y?sin2x在x??0,???都成立，则实数a的取?4?????的图像，a扮演的角色为对数??4?的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得0?a?1，观察图像进一步可得只需x??4时，
logax?sin2x，即loga???a??,1?
?4?答案：a????sin?2?44??1a?，所以
4????,1? 4??例3：若不等式x?x?2c?1对任意x?R恒成立，求c的取值范围
思路：恒成立不等式变形为x?2c?1?x，即y?x?2c的图像在y?1?x图像的上方即可，先作出y?1?x的图像，对于y?x?2c，可看作
y?x经过平移得到，而平移的距离与c的取值有关。通过观
察图像，可得只需2c?1，解得：c?答案： c?1 21 2小炼有话说：在本题中参数c的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求
例4：若|p|?2,不等式x?px?1?2p?x恒成立,则x的取值范围是______
思路：本题中已知p的范围求x的范围，故构造函数时可看作关于p的函数，恒成立不等式变形为 ?x?2?p?x?x?1?0,设f?x???x?2?p?x?x?1??2?p?2?,即关
222于p的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要f?x??0，只需在端点处函数值
均大于0即可，即??1?13?f?2??0,解得：x??或
2??f??2??0x??1?13 21?13?1?13或x? 22答案：x??小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。
（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。 （3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧
例5：已知函数f?x??x?mx?1，若对任意的x??m,m?1?，都有f?x??0成立，则
2实数m的取值范围是_____________
思路：恒成立的不等式为x2?mx?1?0，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为x所在区间含参，m的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到f?x?是开口向上的抛物线，若要f?x??0，只需端点处函数值小于零即可
m m+1 ??f（无论对称轴是否在区间内），所以只需??f???2?,0? 2??22??m???m??2m?1?0?22 ，???m?1??2m2?3m?0??3?m?0??22解得m????2?,0? 答案：??2??小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若f?x??0，则f?x?max?0，而f?x?是开口