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专题十 三角函数与数列大题

（一）命题特点和预测：

分析近8年全国Ⅰ卷数列与三角函数大题，发现三角函数与数列大题都是放在17题位置且每年只考一个，8年5考利用正余弦定理解三角形或平面图形问题，3年考数列，主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、求数列通项及数列求和，试题难度为基础题，2019年仍将在数列与解三角形二者中考一题，主要考查等比数列、等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、求数列通项及数列求和或利用正余弦定理解三角形，难度为基础题． （二）历年试题比较： 年份 题目 中，，，，. 2018年 【2018新课标1，理 17】在平面四边形（1）求（2）若； ，求. 2017年 【2017新课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA. （1）求sin Bsin C; （2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长. 2016年 【2016高考新课标理数1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求C； （2）若的面积为33，求△ABC的周长． 22na?an=4Sn?3. Saa【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，nnnn2015年 （1）求{an}的通项公式； （2）设bn?1 ,求数列{bn}的前n项和. anan?1 ，2014年 【2014课标Ⅰ，理17】已知数列a的前n项和为S，a?1，a?0，?n?n1n其中?为常数， （1）证明：；

（2）是否存在?，使得?an?为等差数列？并说明理由. 2013年 【2013课标全国Ⅰ，理17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°. (1)若PB＝1，求PA； 2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA. 2012年 【2012全国，理17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0． (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c． 2011年 【2011全国新课标，理17】等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a32?9a2a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{1}的前n项和． bn【解析与点睛】

（2018）（17）【解析】（1）在由题设知，

，所以

中，由正弦定理得.

.

由题设知，，所以.

（2）由题设及（1）知，在中，由余弦定理得

. .

所以. 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

（2017年）【解析】（1）由题知

∴∵由正弦定理得

由sinA?0得（2）由（1）得

. ，

，

∵∴

又∵A??0，π?

∴A?60?，sinA?由余弦定理得由正弦定理得

13，cosA?

22 ① ， ②

∴由①②得b?c?33 ∴，即△ABC周长为3?33 【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如

，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具

体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.