内容发布更新时间 : 2024/5/12 2:11:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《近世代数》课程教案

《近世代数》课程教案

第一章 基本概念

教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与?的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类。

教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程：

§1 集合

定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集

合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示：

习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，

习惯上用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。

若a是集合A中的元素，则记为a?A,否则记为a?A。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：A??xp(x)?,p(x)—元素x具有的性质。 例：A??aa?Z且1?a?4?。显然例6中的A就是例5的A。

3、绘图法：用文氏图（VennDiagram）可形象地表现出集合的特征及集合之

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间的关系。

（3）集合的蕴含（包含）

定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为B?A，否则说

B是A的子集，记为B?A. 定义：设B?A，且存在a?A但a?B，那么称B是A的真子集，否则称B不是

A的真子集。

定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B. 结论：显然，A?B?A?B且B?A. （4）集合的运算

①集合的并：A?B?xx?A或x?B ②集合的交：A?B??xx?A且x?B? ③集合的差：A?B??xx?A且x?B? ④集合在全集内的补：A??xx?E且x?A? ⑤集合的布尔和（对称差）：

??A?B??xx?A或x?B但 x?A?B??(A?B)?(B?A)?(A?B)?(A?B) ⑥集合的卡氏积：A?B??(a,b)a?A且b?B?

注：A?B中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。 卡氏积的推广：

令A1,A2,?,Am是m个集合，那么由它们做成的卡氏积为 ：?Ai?A1?A2???Am??(a1,a2,?,am)ai?Ai,i?1,2,?,m?i?1m

对上述集合运算，可以得到一批基本公式：

(1)A?B?B?A;A?B?B?A.(2)A?(B?C)?(A?B)?C;A?(B?C)?(A?B)?C(3)A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)(4)A???A;A?E?A;A?A?E;A?A??.(5)A?E?E;A????;A?A?A;A?A?A(6)吸收律：A?(A?B)?A;A?(A?B)?A

例题：

例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2}

A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合.

例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6}

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§2 映射

定义：设?是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个A1?A2?L?An的元

(a1?a2?L?an)(ai?Ai)，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则?叫做集合A1?A2?L?An到集合D的一个映射。

其中，元d是(a1?a2?L?an)在映射?的象，a是b在?下的逆象。

例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合. φ：（a1,a2,……,an）→ a12+a22+……+an2=φ(a1,a2,…,an)是一个 A1×A2×…×AN 到D的映射.

例2 ：A1={东,西},A2={南}，D={高,低}

φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A1×A2到D的映射. φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A1×A2到D的映射.

例3：A1=D=所有实数所成的集合. φ：a→a 若a ≠1 1→b 这里b2=1 不是一个A1到D的映射.

例4：A1=D=所有实数所成的集合.

φ：a→a-1不是一个A1到D的映射.

定义：我们说，A1?A2?L?An到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任

何一个元(a1?a2?L?an)来说，φ1(a1?a2?L?an)=φ2(a1?a2?L?an)。

例5：A=D=所有正整数的集合. φ1：a→1=φ1（a）

φ2: a→a0=φ2（a） 则φ1与φ2是相同的.

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