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2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 5 of 9

2222?X?X2??X?X2??X?X2??X?X2?22所以，?1?~??1?，?1?~??1?；而且?1?与?1?相互独立．

2??2??2??2??????2?X1?X2?所以，Y???X?X??2??1八．（本题满分8分）

?X1?X2???2????~F?1,1?． 2?X1?X2???2???2 某射手射击，他打中10环的概率为0.5，打中9环的概率为0.3，打中8环的概率为0.1，打中7环的概率为0.05，打中6环的概率为0.05．他射击100次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率．

（附表：标准正态分布分布函数??x?的部分数值表：

x ??x? 解：

1.25 1.30 1.35 1.40 0.8944 0.90230 0.91149 0.91924 设Xk表示该射手射击的第k发时所得的环数?k?1,2,?,100?，则Xk的分布律为

8 7 Xk P 10 0.5 9 0.3 6 0.05 0.1 0.05 所以，E?Xk??10?0.5?9?0.3?8?0.1?7?0.05?6?0.05?9.15，

2 EXk?102?0.5?92?0.3?82?0.1?72?0.05?62?0.05?84.95，

??2所以，D?Xk??EXk??E?Xk???84.95?9.152?1.2275．

2?? 因此，X1,X2,?,X100是独立同分布的随机变量，故

?Xk??E?Xk?930??E?Xk????k?1k?1k?1?? 100100D?Xk?D?Xk?????k?1k?1?100100100100??900??E?X?k100???k?1? P?900??Xk?930??P?100k?1???D?Xk???k?1?第 5 页 共 9 页

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100??900?100?9.15 ?P???100?1.2275???? ?P??1.35388????100?Xk?100?9.15k?1??930?100?9.15? ??100?1.2275100?1.2275???Xk?100?9.15k?1??? 8?1.3538?100?1.2275?? ???1.35?????1.35??2??1.35??1?2?0.9114．?91?0.82289 九．（本题满分9分）

设随机变量X与Y相互独立而且同分布，其中随机变量X的分布列为

P?X?1??p?0,P?X?0??1?p?0，

再设随机变量

?1Z???0⑴ 写出随机变量?X,X?Y为偶数 ．

X?Y为奇数Z?的联合分布律以及X与Z各自的边缘分布律；⑵ 问p取什么值时，随机变量

X与Z相互独立？

解：

⑴ X与Z的联合分布列以及X与Z各自的边际分布列为

Z X 0 1 pi? 1?p p 0 1 p?1?p? p?1?p? 2p?1?p? ?1?p?2 p2 1?2p?1?p??2p2 p?j Y?1??p?1?p?； 其中P?X?0,Z?0??P?X?0,Y?1??P?X?0?P? P?X?0,Z?1??P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0???1?p?；

2Y?0??p?1?p?； P?X?1,Z?0??P?X?1,Y?0??P?X?1?P? P?X?1,Z?1??P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1??p2；

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⑵ 如果X与Z相互独立，则有

P?X?1,Z?0??p?1?p??P?X?1?P?Z?0??p?2p?1?p?， 解方程 p?1?p??p?2p?1?p?，得p?

Z 11

．并且当p?时，有 221 X 0 pi? 1 21 20 1 p?j 1 41 41 21 41 41 2 可以验证，此时X与Z是相互独立的．

十．（本题满分9分）

两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X和Y，假设X与Y相互独立，都服从参数为??5的指数分布．X的密度函数为

?5e?5xf?x????0x?0 ． x?0现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T的概率密度函数． 解：

?5e?5x X的密度函数为fX?x????0?5e?5y Y的密度函数为fY?y????0x?0 ， x?0y?0 y?0由题意，知 T?X?Y，设T的密度函数为fT?t?，则 fT?t???????fX?x?fY?t?x?dx??5e?5xfY?t?x?dx

0??作变换 u?t?x，则 du??dx，

当x?0时，u?t ；当x???时，u??? ．代入上式，得 fT?t????5et???5?t?u?fY?u?du?5e?5t??5ue?fY?u?du

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当t?0时，由fY?y??0，知fT?t??0 ； 当t?0时，

fT?t??5e?5t?e5u?5e?5udu?25te?5t

??t综上所述，可知随机变量T的密度函数为

?25te?5t fT?t????0t?0 ． t?0十一．（本题满分9分） 设总体X的密度函数为

1??f?x;???e，????x????，

2?其中??0是未知参数．?X1,?, 解：

xXn?是从中抽取的一个样本．求?的最大似然估计量．

?的似然函数为

1?1n? L?????f?xi;???exp?x??i?， n???2?i?1i?1??则有

lnL?????nln?2???1n??xi?1ni，

dn1n对?求导，得lnL??????2?xi，

d???i?1dn1lnL????0，即有??2令d????i?1n1nxi?0，解似然方程，得???xi．

ni?1n??1所以，?的最大似然估计量为??Xi． ni?1十二．（本题满分9分） 设总体X的密度函数为

?6x????x?0?x??f?x????3 ，

?0其它?第 8 页 共 9 页

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其中??0是未知参数，?X1，?，Xn?是从该总体中抽取的一个样本．

?（4分） ⑴. 求未知参数?的矩估计量??（5分）；⑵. 求方差var?．

解：

?? ⑴. E?X???????xf?x?dx??0?6x2?3???x?dx??2 ，

1n所以，??2E?X? ，将E?X?用样本均值X??Xi来替换，得未知参数?的矩估计为

ni?1??2X ???var?2X??4var?X??4var?X?，而 ⑵. var?n?? D?X??EX2??E?X??

2??6x?????? ??xf?x?dx?????3???x?dx?

?420?2???02??2?32244?2?2?? 所以，var??var?X???nn205n??

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