内容发布更新时间 : 2024/9/21 11:28:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第17课时 水平面内的圆

周运动及其临界问题

考点1 圆锥类运动及其临界问题

1．关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题，常见的是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题，通过受力分析来确定临界状态和临界条件是常用的解题方法。

2．(1)运动轨迹是在水平面内圆。 (2)物体所受合外力提供向心力。

(3)向心力可以是一个力或几个力的合力，也可以是某个力的分力。

3．实例：圆锥摆、汽车和火车拐弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行、锥斗、锥面等，临界条件是恰好满足或不满足某条件。

[例1] 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8, g取10 m/s，结果可用根式表示)。求：

2

(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？

(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，如图所示。

小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mω0lsinθ

解得ω0＝即ω0＝

2

2

glcosθ

g

52

＝ rad/s。

lcosθ2

(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanα＝

mω′2lsinα

解得ω′＝即ω′＝

2

gglcosα

＝25 rad/s。

lcosα

52

答案 (1) rad/s(2)25 rad/s

2

(1)圆锥类圆周运动问题的物体，有些在锥面内，有些在锥面外，有些属于锥面问题，如：汽车道路在拐弯时为什么修的是内低外高，火车拐弯处的构造等。

(2)先对运动轨迹和状态分析确定圆心和半径及有关物理量，再对物体进行受力分析。分析出提供向心力是什么力、列式求解。

(3)当转速变化时，往往会出现绳子拉紧，绳子突然断裂，上下移动的接触面会出现摩擦力达到极值，弹簧的弹力大小或方向发生变化等。

铁路转弯处的弯道半径r是根据地形确定的，弯道处要求外轨比内轨高，内外轨的高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨的高度差h的部分数据关系：(g取10 m/s)

弯道半径r/m 6321112

60 内外轨的高度差50 30 100 20 150 65 200 32 250 10 300 h/mm

(1)根据表中数据，推导出h和r关系的表达式，并求出r＝550 m时h的值； (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨均不向车轮施加侧向压力。已知我国铁路内外轨的间距设计值L＝1435 mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为

单位，结果取整数。当θ很小时tanθ≈sinθ)；

(3)为了提高运输能力，国家不断对火车进行提速，这就要求火车转弯速率也提高。请根据上述计算原理和表格中的数据分析提速时应采取怎样的有效措施。

答案 (1)60 mm (2)55 km/h (3)见解析

解析 (1)由题表中数据可知，每组的h与r之积为常数，即hr＝660×50×10 m＝33 m

所以当r＝550 m时h＝60 mm。

(2)当内外轨对车轮都没有侧向压力时，对火车的受力分析如图所示。

2

－3

2

v2

则F＝mgtanθ＝m

r因为θ很小，tanθ≈sinθ＝ 所以v＝

hLghr＝ L10×33

－3 m/s

1435×10

≈15.2 m/s≈55 km/h。

(3)由前面的计算可知，可采取的有效措施有：①适当增大内外轨的高度差h；②适当增大铁路弯道的轨道半径r。