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极限思想在小学数学中的渗透
作者：李至艳
来源：《小学教学研究》2009年第10期
一、在形成新概念时渗透极限思想
小学几何概念中有许多概念是具有无限性的,如直线 、射线、角的边、平行线的长度等等,它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的(现实生活中你找不到一条能无限延伸的线),它们只是存在于人脑的想象之中,是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此,在图形教学中培养学生空间想象力,培养学生的无限观念是非常重要的。
【案例】“射线的初步认识”
师:请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段,说一说它有什么特点。 生:1.它是直的、用尺可以量出长度;2.它有两个端点…… 师:请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线,有什么问题? 生a:好了!(得意)
生b:不对!(反对)直线是没有长短的…… 师:为什么?
生:因为直线可以向两边无限延长。 师:无限延长是什么意思?
生:就是无限的长,没完没了的意思…… 下面请同学们仔细观察老师的演示:
师:(用红外线光电筒照在黑板上)请同学们画出来。
师:(打开窗户,将红外线光电筒照射向天空)如果光束没有受到阻碍的话,请你画出来…… (学生有很多种情况,请学生自己说出自己的理由,交流反馈)
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师:这就是我们今天要学的射线,它有什么特点呢?
生:一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。 师:射线是直线的一半吗?
生a:是的,因为直线上点一个点,就可以有两条射线。
生b:不对,它们都是可以无限延长的,所以无法比较,不能说是谁的一半……
让学生一下子认识到图形的无限性是有一定难度的,上面的教学片段中,教师通过学生自己动手,建立起对“线段”“射线”“直线”在认知的矛盾冲突,这样巧妙的教学设计使得学生轻松地建立了对“直线”“射线”的“无限”的空间感观,真实、自然又不失严密。在我们周围的事物中,是找不到那种可以真正地被看成是“无限的直线”的东西的。那么今后学生因为想象出了无限的直线,他们的空间图形观念则产生了质的飞跃,因为借助于这样的直线去认识世界,将比没有它要方便得多。学生在教师的引领下,走出有限的几何观念,形成无限的几何观念,极限思想在图形概念形成初期呼之欲出,迸发出其绚丽的色彩!
二、在公式推导过程中渗透极限思想
数学思想方法呈隐蔽形式,渗透在学生获得知识和解决问题的过程中,如果能有效地引导学生经历知识形成的过程,让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中,看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想,那么,学生所掌握的知识才是鲜活的,可迁移的,学生的数学素质才能得到质的飞跃。我们要力争做到即使在以后学生具体的知识忘了,但数学地思考问题的思想方法还常存于脑中。
【案例】“圆的面积”
在教学“圆面积公式的推导”一课时,我是这样设计的。
师:我们学过了一些图形的面积计算公式,今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗?
生:可以把圆转化为我们学过的图形。 师:怎么转化?
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生:把圆平均分。(大屏幕上演示把圆平均分成了2份,把两个半圆使劲地拼,结果还是一个圆。)
师:转化不成已经学过的图形,怎么回事? 生:平均分的份数不够多。
师:是这样吗?那我们分得多一些,请大家仔细观察。(演示把一个圆分割为完全相同的小扇形,并试图拼成长方形。从平均分成4个、8个到16个。) 师:你们有什么发现?同桌轻轻交流一下。 生1:16个拼起来,比较像长方形。
生2:分的份数越多,拼成的图形就越接近长方形。
师:你们都同意他们的看法吗?(学生表示同意)那我们再来分一分这个圆。(课件演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。)
师:大家再仔细看一看,想一想,如果一直这样分下去,拼下去会怎样? 生1:拼成的图形就真的变成了长方形,因为边越来越直了。 师:拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊? ……
这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程,“图形就真的变成了长方形”就是获得的结果。学生经历了从无限到极限的过程,感悟了极限思想的巨大价值。
学生有了这个基础,到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法,从而再一次加以利用解决问题,在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。
以上计算公式的推导过程,采用了“变曲为直”“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限,根据图形分割拼合的变化趋势,想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式,又萌发了无限逼近的极限思想。
三、在数学练习中渗透极限思想