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og人口增长的

stic模型分析

及其应用

Li人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用

作者：熊 波

来源：《商业时代》2008年第27期

◆ 中图分类号：C923 文献标识码：A

内容摘要：本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用 Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。 关键词：人口 Logistic模型 迭代

人口增长问题相关研究

最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记t时刻的人口总数为x(t)。初始时刻t=0时的人口为x0。人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。在r>0时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因此就有，这个模型就是Logistic模型。 为表达方便，Logistic方程常被改写成：

由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。 本文也将采用Logistic模型对我国人口进行分析。

人口增长模型的建立

要预测未来的人口，就必须先估计出人口增长率r。logistic模型在数学上来讲是一个非线性模型，而非线性的方程是无法估计出r值的。在利用logistic模型研究人口问题时，一般运用以下方法：先将logistic模型转化成线性模型，将logistic模型的解作进一步的形式转换得： 再两边取对数，转化为线性形式，便于对r进行估计，转化的结果为：

估计出固定增长率r后代入到中，代入相应的时间t就可以预测出未来各年的总人口数了。这里为线性方程的前提是：已知人口上限xm。因此在计算中会令xm为一特定的值（比如我国计生委认为的16亿人口上限）。而在实际情况下，人口的上限是随着经济的发展与科学的进步是不断增大的，最后趋近于某一常数。其次，固定增长率r是将Logistic模型线性化后根据一元线性回归才能得到，虽然可以很好的通过T检验，但由于其回归的基础是确定的人口上限，故仍然存在一定的缺陷。所以本文将用迭代算法对人口上限xm和人口固定增长率r进行计算。

算法基本思想是： 假设xm已知， 求得r的最优估计， 然后把r作为已知， 求出xm的最优估计，这样交替循环迭代直到收敛为止。 记，于是有：(1) 代入得：(2)

因存在模型误差， 应以下述带误差的方程代替式(2)得： (3)

从而在xm已知条件下， 利用最小二乘法估计参数r，令，当最小时，即： (4) 由式(4)得： (5)

由式(5)得参数r的最小二乘估计 (6)

同理，由于存在模型误差，应以下述带误差的方程代替得： (7) 式(7)中εt为独立、 均值为 0、 等方差的随机变量， 记

则式(7)变为，在r已知的情况下可以得到xm的最小二乘估计： (8)

这里σt中含有被估计参数xm，在迭代解法中，我们可以用上一次的迭代估计值xm*代替它。最优估计x*、r*具体估计步骤如下：

取初值xm(0)，然后将xm(0)代入(6)求得r(0)。令k=1，a=xm(0)，b=r(0) ；b代入(8)式，求得xm(k)，xm(k)代入(6)求得r(k)。若，则停止，此时有x*=xm(k)，r*=r(k) ；a=xm(k)，b=r(k)，k=k+1转“2”。