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复变函数测验题

?ezdz，从而证明?ecos?cos(sin六、求积分??)d???.

0zz?1

七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限

f(z)dz并由此推证f(a)?f(b)（刘维尔Liouville定理）.

R????(z?a)(z?b)z?Rlim

八、设f(z)在z?R(R?1)内解析，且f(0)?1,f?(0)?2，试计算积分

z?1?(z?1)2f(z)dzz2并由此得出

?2?0cos2?2f(ei?)d?之值.

九、设f(z)?u?iv是z的解析函数，证明

?2ln(1?f(z))?x2

2??2ln(1?f(z))?y22?4f?(z)222(1?f(z)).

22十、若u?u(x?y)，试求解析函数f(z)?u?iv.

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复变函数测验题

第四章 级 数

一、选择题：

(?1)n?ni(n?1,2,?)，则liman( ) 1．设an?n??n?4（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

?1?3in(3?4i)n（A）?( ) （B）?2n!n?1n?1??in(?1)n?i（C） ? （D）?

nn?1n?1n?1?3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

?1i(?1)ni（B） ?(1?) （B）?[?n]

nn2n?1nn?1??in(?1)nin(C)? （D）? nlnn2n?2n?1??4．若幂级数

?cn?0nzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )

（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定 5．设幂级数

?cn?0?nz,?ncnznn?0?n?1和

cnn?1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则z?n?0n?1?R1,R2,R3之间的关系是( )

（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3 （D）R1?R2?R3 6．设0?q?1，则幂级数

?qnzn的收敛半径R?( )

n?0?2 14

复变函数测验题

（A）q （B）

1 （C）0 （D）?? q7．幂级数

?n?1?sinn?2(z)n的收敛半径R?( ) n2（A） 1 （B）2 （C）2 （D）??

(?1)nn?18．幂级数?z在z?1内的和函数为

n?0n?1?1?z) （B）ln(1?z) （A）ln(（D）ln11 (D) ln 1?z1?z??eznn9．设函数的泰勒展开式为?cnz，那么幂级数?cnz的收敛半径R?( )

coszn?0n?0（A）?? （B）1 （C）

? （D）? 210．级数

112??1?z?z??的收敛域是( ) 2zz（A）z?1 （B）0?z?1 （C）1?z??? （D）不存在的

11．函数

1在z??1处的泰勒展开式为( ) 2z?n（A）

?(?1)n?1?n(z?1)n?1(z?1?1) （B）?(?1)n?1n(z?1)n?1n?1??(z?1?1)

（C）??n(z?1)n?1n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1(z?1?1)

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复变函数测验题

12．函数sinz，在z???2处的泰勒展开式为( )

(?1)n?（A）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!(?1)n?（B）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

(z??2???)

(?1)n?1?（C）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!?(z??2???)

(?1)n?1?（D）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

?13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为

n????cn(z?z0)n，c为H内

绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么

f(z)?c(z?z0)2dz?( )

(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0)

??3n?(?1)n,n?0,1,2,?n14．若cn??，则双边幂级数的收敛域为( ) cz?nn4,n??1,?2,?n????（A）

11?z? （B）3?z?4 4311?z??? （D）?z??? 43（C）

15．设函数f(z)?1在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么

z(z?1)(z?4)m?( )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

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