内容发布更新时间 : 2025/2/6 12:40:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章《实数》知识点梳理及题型解析
一、知识归纳
（一）平方根与开平方
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
即x2?a，x叫做a的平方根。 2.平方根的性质与表示
⑴表示：正数a的平方根用?a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，?a叫做a的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：?a（根指数2省略）
0有一个平方根，为0，记作0?0 ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数a的平方根的运算。
?aa?02
a2?a?==??a a?0
?a??a （a?0）
⑷a的双重非负性
a?0且a?0 （应用较广）
例：x?4?4?x?y 得知x?4,y?0
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地
向右或向左移动一位。 区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ 4?____4开平方后，
得____
??完全平方类 4＝23.计算a的方法??93?非完全平方类 7＝7 ????精确到某位小数 *若a?b?0，则a?b
（二）立方根和开立方
1．立方根的定义
如果一个数的立方等于a，呢么这个数叫做a的立方根，记作3a 2. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 3. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
?3a?3?a
3a3?a 3?a??3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广： n次方根
１. 如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方
根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。 当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：?na；０的偶次方根为０：n0?0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
（四）实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：
1
① 按属性分类： ② 按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
①尺规可作的无理数，如2
②尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001…… 思考：
（1）－a2
一定是负数吗？－a一定是正数吗？ （2）大家都知道
是一个无理数，那么
－1在哪两个整数之间？
（3）15的整数部分为a,小数部分为b，则a= , b= 。（4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数；
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。 3. 实数大小比较的方法
一、平方法： 比较32和3的大小 二、根号法： 比较23和32的大小 三、求差法： 比较5?1和1的大小 24.实数的三个非负性及性质
(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。 (2)非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即a?0 （3）非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
二、题型解析
题型一、有关概念的识别
例1.下面几个数：1.23. ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理
数的个数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4 【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、
=±1 D、
是5的平方根的相反数
题型二、计算类型题 例2.设
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
2
C. D.
例3.计算：
例4.先化简，再求值：
1?1?b，其中a=5?1，b=5?1． a?bba(a?b)22
例5.若32a?1和31?3b互为相反数，求ab的值。
题型三、实数非负性的应用
例6．已知实数a、b、c满足，2|a-1|+2b?c+(c?1)2 =0,,求a+b+c的值.
2
例7.若y?x?1?1?x?1，求x，y的值。
例8.已知：=0，求实数a, b的值
【变式1】y?2?x?x?2?x2?5，求yx的平方根和算术平方根。
【变式2】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
题型四、数形结合题
例9、如图，实数a、b在数轴上的位置， 化简 ：a2?b2?(a?b)2
类型五、实数应用题
例10．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。
类型六、拓展提升 例11.已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
例12.把下列无限循环小数化成分数：①②
③
3