内容发布更新时间 : 2024/11/15 12:37:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第1节 导数的概念与导数的计算

考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能1

根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝，y＝，y＝2，y＝3，y＝x的导数；4.能利用

x基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(a＋b)的复合函数)的导数.

知 识 梳 理

1.函数y＝f()在＝0处的导数

(1)定义：称函数y＝f()在＝0处的瞬时变化率

f（x0＋Δx）－f（x0）

＝

Δx Δy ΔxΔy为函数y＝f()在＝0处的导数，记作f′(0)或y′|＝0，即f′(0)＝Δx＝

f（x0＋Δx）－f（x0） . Δx(2)几何意义：函数f()在点0处的导数f′(0)的几何意义是在曲线y＝f()上点(0，f(0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(0)(－0). 2.函数y＝f()的导函数

如果函数y＝f()在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f()在开区间内的导函数.记作f′()或y′. 3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数 f()＝c(c为常数) f()＝α(α∈Q) f()＝sin f()＝cos f()＝e f()＝a(a＞0且a≠1) f()＝ln f′()＝0 f′()＝αα－1 f′()＝cos__ f′()＝－sin__ f′()＝e f′()＝aln__a 1f′()＝ xf()＝loga (a＞0，a≠1) 4.导数的运算法则 若f′()，g′()存在，则有： (1)[f()±g()]′＝f′()±g′()； (2)[f()·g()]′＝f′()g()＋f()g′()； (3)?

f′()＝1 xln af′（x）g（x）－f（x）g′（x）?f（x）?′＝(g()≠0). ?2g（x）[g（x）]??

5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g())的导数和函数y＝f(u)，u＝g()的导数间的关系为y′＝yu′·u′，即y对的导数等于y对u的导数与u对的导数的乘积. [常用结论与易错提醒]

1.f′(0)与0的值有关，不同的0，其导数值一般也不同. 2.f′(0)不一定为0，但[f(0)]′一定为0.

3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 4.函数y＝f()的导数f′()反映了函数f()的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′()|反映了变化的快慢，|f′()|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

基 础 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(0)与(f(0))′表示的意义相同.( )

(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2)′＝·2－1.( )

(4)若f()＝e2，则f′()＝e2.( )

解析 (1)f′(0)是函数f()在0处的导数，(f(0))′是常数f(0)的导数即(f(0))′＝0；(3)(2)′＝2ln 2；

(4)(e2)′＝2e2.

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y＝cos －sin 的导数为( ) A.sin C.cos

B.－sin D.－cos

解析 y′＝(cos )′－(sin )′＝cos －sin －cos ＝－sin . 答案 B

3.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 2

解析 ∵y＝2ln(＋1)，∴y′＝.当＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(＋1)在点(0，0)处的

x＋1切线方程为y－0＝2(－0)，即y＝2. 答案 y＝2

4.(2019·南通一调)若曲线y＝ln 在＝1与＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________. 解析 因为y′＝ln ＋1， 所以(ln 1＋1)(ln t＋1)＝－1， ∴ln t＝－2，t＝e－2. 答案 e－2

1

5.定义在R上的函数f()满足f()＝f′(1)e2－2＋2－2f(0)，则f(0)＝________；f()＝________.

21

解析 ∵f()＝f′(1)e2－2＋2－2f(0)，

2∴f′()＝f′(1)e2－2＋2－2f(0)， ∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，∴f(0)＝1， 1

即1＝f′(1)e－2，∴f′(1)＝2e2，

2∴f()＝e2＋2－2. 答案 1 e2＋2－2

6.已知曲线y＝e－，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为________；该曲线在点(0，1)处的切线方程为________.

解析 由题意得y′＝－e－，则由指数函数的性质易得y′＝－e－∈(－∞，0)，即曲线y＝e－的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(－∞，0).当＝0时，y′＝－e－0＝－1，则曲线y＝e－在(0，1)处的切线的斜率为－1，则切线的方程为y－1＝－1·(－0)，即＋y－1＝0.

答案 (－∞，0) ＋y－1＝0

考点一 导数的运算