内容发布更新时间 : 2024/5/2 1:33:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

勾股定理中的数学思想

为使同学们在运用定理解题时思路开阔，同时也可以加深对数学概念、公式、定理的理解，在应用勾股定理时要掌握一些重要的数学思想方法。 一、分类讨论思想

分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，在解题中才能真正做到不重不漏．

例1 在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC边的长．

解析：三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形外部，故此题应分两种情况来考虑．

图1 图2 当BC边上的高AD在△ABC的内部时，如图1，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝152－122＝81，得BD=9，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，得CD=16．则BC＝BD＋CD＝25． 当BC边上的高AD在△ABC的外部时，如图2，同样由勾股定理可求得CD=16，BD=9．这时BC=CD-BD=7．故BC边的长为25或7．

点评：此题如有图形则将变得很简单，按图形解答即可．但若没有图形，则需要讨论几种可能的情况．这正是“无图题前细思考，分类讨论保周到”． 二、数形结合思想

在运用数形结合思想考虑问题时，既可把数量关系转化为图形的性质问题来解决，也可把图形的性质问题转化为数量关系的问题来处理．勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用都体现了数形结合的思想，所以，运用勾股定理可以顺利解决某些具有平方特征的代数问题，反之亦然．

2 例2 若x，y为正实数，且x+y=4，x?1?y2?4的最小值是多少？

解析：若能考虑到x2?1是以x，1；y2?4是以y，2

为直角边的直角三角形斜边的长，那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题．如图，线段AB=4，P为AB上一动点，设PA=x，PB=y，CA⊥AB，DB⊥AB，A、B为垂足，且CA=1，BD=2，则PC＋PD?x2?1?y2?4．易知当点P、C、D在同一条直线上时，PC+PD

最小．作CE垂直DB的延长线于点E，易知EC=4，ED=2+1=3，故

2PC+PD=DC?32?42?5．故x?1?y2?4的最小值为5．

点评：此题难在对形如a2?b2式子的理解，a2?b2表示以正数a，b为直角边的直角三角形的斜边，看到这个式子应立刻在头脑中产生这个直角三角形，这当然需要经验的积累，有了这个直角三角形，解决问题便有了思路．

三、方程思想

初中数学是以方程为核心的，很多问题都可以通过列方程、解方程的方法得到解决，因此，重视方程思想的运用，对提高同学们的解题能力具有重要的意义． 例3 如图，有一块直角三角形纸板ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到点E处，则CD等于（ ）．

（A）2cm （B）3cm （C）4cm （D）5cm

解析：本题若直接在△ACD中运用勾股定理是无法求得CD的，因为只知道一条边AC的长，由题意可知，△ACD和△AED关于直线AD对称，因而△ACD≌△AED．进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，ED⊥AB，设CD=ED=xcm，则在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=62+82=100，得AB=10cm，在Rt△BDE中，有x2+（10－6）2＝（8－x）2．解得x=3．故选（B）．

点评：勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程．所以，在利用勾股定理求线段的长时常常利用解方程来解决．勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段的长时需要明确的思路． 四、转化思想

有些问题如果直接解决难以入手，不妨换一个方向、角度或观点来考虑，或许能使问题变得更清晰、更明朗，这就是转化思想．

例4 如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形．现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？

解析：求几何体表面最短距离，通常可将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形加以解决，对于此题，可将该长方体的右表面折到与前表面在同一个平面内，C点成为B点，连结AB，线段AB的长即为最短距离．由勾股定理，可知AB2＝32＋（2＋2）2

＝52，得AB=5cm．即小虫所走的路程最短为5cm． 点评：解决此类问题的关系是把立体图形问题转化为平面图形问题，从而利用勾股定理解决．路径虽无数最短却惟一，要注意弄清哪一条是最短的．