内容发布更新时间 : 2024/6/24 2:49:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.4 基本不等式

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．下列不等式正确的是( ) 1

A．a＋≥2

a?1?B．(－a)＋?－?≤－2

?a?

?1?22

D．(－a)＋?－?≤－2

?a?

a2＋2

a21

12

C．a＋2≥2

a122

解析：因为a＋2中a>0，所以

a≥a2·2，

a1

1?21?12

即?a＋2?≥1，所以a＋2≥2.

a?2?a答案：C

1x2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n＝3(x<1)，则m，n之间的大小关系是( )

aA．m>n C．m＝n

1

解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2B．m

aa·＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．又因为x<1，a1

所以n＝3<3＝3，所以m>n. 答案：A

3．已知0

1B. 22D. 3

x1

11931

解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．

33442答案：B

1

4．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )

xA．最大值为0 C．最大值为－4

B．最小值为0 D．最小值为－4

1

解析：∵x<0，∴f(x)＝－?－1时取等号． 答案：C

?－x＋1?－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1，即x＝

?－x?－x?

5．下列不等式中正确的是( ) 4

A．a＋≥4

aB．a＋b≥4ab 32

D．x＋2≥23

22

C.ab≥

a＋b2

x422

解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a＋b<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则

aa＋bab<，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2

答案：D

6．已知a>b>c，则

a－ba－cb－c与的大小关系是________．

2

解析：因为a－b>0，b－c>0，a－c>0. 所以

a－bb－c≤

a－b＋b－c2

＝

a－c2

.

当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号． 所以答案：

a－ba－bb－c≤

a－c2

.

a－cb－c≤

2

18

7．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________．

22x－11

解析：设t＝2x－1，∵x>，∴2x－1>0，即t>0，

2∴y＝

t＋18t81

＋＝＋＋≥22t2t2t819

·＋＝. 2t22

t85

当且仅当＝，即t＝4， x＝时，取等号．

2t2

9

答案：

2

8．若x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________． 解析：1＝x＋4y≥24xy＝4xy，

2

1

∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．

161

答案：

16

9．已知不等式ax－3x＋2<0的解集为A＝{x|1

(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x＋

25

(x∈A)的最小值．

b－ax＋a2

2

解析：(1)由题意知，1，b是方程ax－3x＋2＝0的两根，且b>1，

??a－3＋2＝0，∴?2

?ab－3b＋2＝0，?

??a＝1，

解得?

?b＝2.?

(2)由(1)得f(x)＝(2×1＋2)x＋＝4(x＋1)＋

25

－4≥2x＋1

4

2525

＝4x＋

2－1x＋1x＋1

25

x＋1·－4＝16.

x＋1

当且仅当4(x＋1)＝

253

，即x＝∈A时等号成立． x＋12

∴函数f(x)的最小值为16.

10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．

(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x∈N)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 解析：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x) 1

＝200＋x(x＋1)·16(万元)．

21?∴y＝4?100x－200－x2?

2

*

x＋1·16??

?

＝16(－2x＋23x－50)． (2)年平均利润为

50?y???25??＝16?23－2x－?＝16?23－2?x＋??. x?x??x???又x∈N，

*

3