内容发布更新时间 : 2024/5/14 18:22:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

函数中的恒成立、恰成立和能成立问题

教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法

过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系 问题：

已知函数f(x)?2kx?k,x?[0,1]，函数g(x)?3x2?2(k2?k?1)x?5,x?[?1,0]，

2当k?6时，对任意x1?[0,1]，是否存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立.若k?2呢？ 变式1：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

f(x)的值域是g(x)的值域的子集即可.

变式2：存在x1?[0,1] x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

g(x)的值域与f(x)的值域的交集非空. 变式3：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

gmin(x)?fmin(x)

《小结》： 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.

x2?2x?a,对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立，例1：（1）已知f(x)?求实数a的取值范围。 xx2?2x?a（2）已知f(x)?，对任意x?[1,??)，f(x)的值域是[0，，求实数a的取值范围。 ??）xx2?2x?a?0恒成立，则此问题等分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于x?1，f(x)?x价于?(x)?x?2x?a?0(x?1)恒成立，又等价于x?1时?(x)的最小值?0恒成立.

由于?(x)?(x?1)?a?1在x?1 时为增函数，所以?min(x)??(1)?a?3，于是a?3?0，

22a??3.

第（2）问是一个恰成立问题，即当x?1时，f(x)的值域恰为[0,??),与（1）不同的是，（1）是x?1时，f(x)?0恒成立，因此允许在x?1时，f(x)的取值为[2,??)，[3,??)，------等等.

而f(x)的值域为[0,??)，则当x?1时，f(x)只能取[0,??)，而不能是其他.

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x2?2x?aaa?x??2，当a?0时，由于x?1，f(x)?x??2?3与其值域为 ?f(x)?xxx[0,??)矛盾，所以有a?0.

a都是[1,??)上的增函数，因而f(x)也是[1,??)上的增函数.于是xaf(x)在x?1时的最小值为f(1)，令f(1)?0，即1??2?0，得a??3.

1 注意到当a?0时，函数y?x,y?小结：1、解恒成立题的基本思路是：若x?D,f(x)?A在D上恒成立，等价于f(x)在D上的最小值

fmin(x)?A成立，若f(x)?B在D上恒成立，则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)?B成立.

2、解决恰成立问题的的基本思路是：若x?D,f(x)?A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)?A，若x?D,f(x)?B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)?B. 恰成立问题： 若不等式若不等式

在区间在区间

上恰成立, 则等价于不等式上恰成立, 则等价于不等式

的解集为的解集为

； .

例2：函数f?x???x2?x?a2?a （1）定义域为区间[?1,2]，求实数a的取值范围. （2）在区间[?1,2]上有意义，求实数a的取值范围；

分析：（1）由题意知不等式?x?x?a?a?0的解集为[-1,2]，

即x?x?a?a?0的解集为[-1,2]，则x?x?a?a?0的两根为-1，2则a?a?2?a?1或a??2 （2）由题意知，不等式?x?x?a?a?0在[-1,2]上恒成立

2222即:a?a?x?x,x?[?1,2] 恒成立?a?a?(x?x)max,x?[?1,2]

22222222211x2?x?(x?)2??x??1或x?2时，(x2?x)max?2?a2?a?2 ?a?1或a??2

24 能成立问题（存在）： 若在区间若在区间

上存在实数使不等式上存在实数使不等式

成立,则等价于在区间成立,则等价于在区间在实数集

上上的

； .

练习1.如已知不等式

上的解集不是空集，求实数的取值范围______

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练习2. 已知两函数f(x)?8x?16x?k,g(x)?2x?5x?4x，k为实数。 （Ⅰ）对任意的x?[?3,3]，有f(x)?g(x)成立，求实数k的取值范围；

（Ⅱ）对任意的x1?[?3,3]，x2?[?3,3]，有f(x1)?g(x2)成立，求实数k的取值范围； （Ⅲ）对任意的x2?[?3,3]，总存在x1?[?3,3]，有f(x1)?g(x2)成立，求实数k的取值范围。 232

练习3.已知函数f(x)?mx?3,g(x)?x2?2x?m 1）求证：函数f(x)?g(x)必有零点 2）设函数G(x)?f(x)?g(x)?1

若|G(x)|在??1,0?上是减函数，求实数m的取值范围； 第 页 共 3 页

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