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《数学建模》课程作业题-10

第二章 算法模型-水塔供水

将水塔供水的两个供水时段、两个用水时段的水流量、用水量程序实现，给出相关数据表。 将所有程序和计算结果呈现在此文档中。

一、问题提出

某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。

水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约 8.2m 时,水泵自动启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。

表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动 )，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。

表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）

时刻 水位 时刻 水位 0 968 9.98 // 0.92 948 1.84 931 2.95 913 3.87 898 4.98 881 5.90 896 7.01 852 7.93 839 8.97 822 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位 866 843 822 // // 1059 1035 1011

二、问题分析

流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱体，横截面积是常数，在水泵不工作的时候，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。

水泵供水时段的流量只能依靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合

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的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准越好。

这些流量答题可利用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，由表1克制从

t?0，乘以水塔的截面积就是这一时段8.97h水位下降了968-822=146（cm）

的用水量，这个数值可以用来检查拟合的结果。

三、模型假设

（1）流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m（设出口的水位为0），因为位对速度的影响。

（2）水泵第一次供水时段为t?910.88.2?1.15?1，所以可忽略水

11h，第二次供水时段为

t?20.823h，这是根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位

测量记录做出的假设，其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h），最后1个时刻来自每次供水约2h的已知条件。

（3）水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间单位的平均流量。

（4）流量是对时间的连续函数。 （5）流量与水泵是否工作无关。

(m2)，为简单起见，（6）由于水塔截面积是常数，S?(17.4/2)2??237.8计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可，

水位是时间的连续函数h?h(t)； 水位对时间的变化率（流量）h??dh(t)； dtt)??h?(t)S。 任何时刻的流量：v(四、建立模型

（1）拟合水位-时间函数

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从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第一供水时段和第二供水时段）和三个水泵不工作时段（以下称第一用水时段t?08.97h，第二用水时段

t?10.95。 20.84h和第三用水时段t?23h以后）

对第一、第二用水时段的测量数据分别做多项式拟合，得到水位函数

h1?h1(t)和h2?h2(t)。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3-6次.由于第三时段只有三个测量记录，无法对这一时段的水位做出比较好的拟合，可采取外推的办法解决。

（2）确定函数-时间函数

对于第一、第二用水时段，秩序将水位函数hi?hi(t),i?1,2求导即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的额第二供水时段外推，将第三用水时段流量包含在第二供水时段内，需要拟合四个流量函数。

（3）一天总用水量

总用水量等于两个水泵不工作时段的和两个供水时段用水量之和，他们都可以由流量对时间的积分得到。

V?

五、模型求解

?tt0V(t)dt??S?h?dt

t0t用MATLAB计算，可得结果。

（1）拟合[0,9]内各时刻的流量值，见表2。

表2：在[0,9]内各时刻的流量值（水位变化率）

ti 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 h1? 22.11 19.81 17.91 16.14 15.12 14.42 14.28 14.64 15.38 16.69

（2）拟合[11,20.8]内各时刻的流量值，见表3。

表3：在[11,20.8]内各时刻的流量值（水位变化率）

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