内容发布更新时间 : 2024/11/13 15:09:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 学院 专业 座位号 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

《概率论与数理统计》试卷(A)

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共七大题，满分100分，考试时间120分钟。 题 号 一 二 三 四 得 分 评卷人 可能用到的表值：

五 六 七 总分 ?(1.285)?0.9,?(1.645)?0.95,?(1.96)?0.975,?(2.33)?0.99

t0.025(35)?2.0301,t0.025(36)?2.0281,t0.05(35)?1.6896,t0.05(36)?1.6883

一．单项选择题（本大题共五小题，每小题3分，共15分）：本大题中每个小题都列有四

个选项，请选取一个最合适的选项、并将所选选项前的字母标号填入题后的括号内。 1.下述命题中正确的是（A）。

A．如果A?B，则B?A B.AB?B?A C.如果事件A、B独立，则P(A?B)?P(A)?P(B) D. AB(AB)?A 2.设X1,X2,...,Xn独立同分布，X1~B(1,p)，则P(X?k/n)?（ C ）。 A．p

kkC． Cnp(1?p)n?k

_____________ ________ 姓名 学号 B． 1?p

k D． Cn(1?p)kpn?k

3. 设连续随机变量X的密度函数满足f(x)?f(?x)，x?是X的上?分位数，则。 P(X?x?)?（ D ）

A.2?? B. 1?2? C.2??1 D. 2?

4.设X,Y是一维随机变量、方差存在，且相关系数?XY?0，则下述说法正确的是（ D ）。 A.X,Y不存在任何函数关系 B.X,Y独立

C.D(XY)?DX?DY D.D(X?2Y)?DX?4DY

5. 设X1,X2,...,Xn是来自总体X~N(?,?)的样本，则下述说法中正确的是（ D ）。 A.X~1N(?,?2) B. ?222(X?X)~?(n) ?ii?1n2《 概率论与数理统计 》试卷A第 1 页 共 5 页

n(X??)1 C. ~t(n) D. ?2S22(X??)~?(n) ?ii?1n二．填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）。 1.如果事件A、B独立且不相容，则Max{P(A),P(B)}=__1___。 2. 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为 (X,Y)P(1,0)0.4(1,1)0.2(2,0)a(2,1) b 若E(XY)?0.8，a=__0.1___ 。

3. 设X~N(0,1),Y~N(1,1)，且X与Y相互独立，则P(X?Y?1)?__0.5_____。 4. 设X1,X2,...,X5是来自总体X~N(1,1)的样本，则1(2X1?X2?X3)2?1(X4?X5)2的数学期62望是_ 2___。

三．（本大题10分）。一个盒子中装有4个白球、6个红球，现投掷一枚均匀的骰子，骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个球。试求： a）所取的全是白球的概率。

b）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？

?C4j,?（1）P(Bj)?1/6，P(A|Bj)??Cj10?0,?jj?4j?4

P(A)??P(Bj)P(A|Bj)=2/21=0.095

（2）P(B3|A)?

四．（本大题10分）。设某次概率统计考试考生的成绩X~N(?,?2)，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为x?66.5分，标准差为s?15分. a） 在置信度为0.95时，求出学生成绩数学期望?的置信区间。

b） 在显著性水平?=0.05下，检验是否可以认为这次考试的平均成绩为70分。 解：（1）

P(B3)P(A|B3)=7/120=0.058

P(A)X??S2n~t(n?1)，??x??Snt0.975?35??15?2.0301?5.07525 6学生成绩数学期望?的置信区间：（61.42,71.58）

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（2）H0:??70,H1:??70,

?????X?70?66.5?70?1.4?t0.975?35??2.0301 拒绝域：A???t0.975?35??，

2215?S???36n??不拒绝原假设。可以认为这次考试的平均成绩为70分。

五．（本大题14分）。设（X,Y）的联合密度函数是：

?A(x2?10?x?1,0?y?22xy)， f(x,y)??0其它?a） 说明A=6/7；

b） 求X的密度函数及EX； c） 求P(X>Y)。 解：（1）

1?????????? f(x,y)dxdy??dx?A(x2?12xy)dy0012?A?(2x2?x)dx?07A?1 6A?6 7（2）X的密度函数：

fX?x???????1226?22xy)dy?x?x,??0A(x?12f(x,y)dy??77??0,0?x?1x?0andx?1

??11265EX??xf(x,y)dx??x(x2?x)dx?

??0777（3）P(X?Y)???Df(x,y)dxdy??dx?A(x2?12xy)dy

001x1515??Ax3dx? 0456 六．（本大题14分）。假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？试用如下两种指定的方法求解：

a)使用契比雪夫不等式。 b)使用中心极限定理。 解：

（1）使用契比雪夫不等式，

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1n1nP{76%??Xi?84%}?P{?0.04??Xi?0.8?0.04}ni?1ni?11n1n?P{|?Xi?0.8|?0.04}?1?D(?Xi)/(0.04)2ni?1ni?1?1?100/n?0.9n?1000

这批产品至少要生产1000件 （2）使用中心极限定理

1n1nP{76%??Xi?84%}?P{?0.04??Xi?0.8?0.04}ni?1ni?11n|?Xi?0.8|1nn?P{|?Xi?0.8|?0.04}?P{i?1?ni?10.16/n0.04?2?()?1?0.90.16/n0.040.16/n?1.645，n?270.6025

0.040.16/n}

这批产品至少要生产271件

1??七．（本大题17分）。设总体X的密度函数是f(x;?)?e，其中?>0是参数。样本

2?|x|X1,X2,...,Xn来自总体X。

?a） 求?的矩估计?MME； ?； b） 求?的最大似然估计?MLE?是?的无偏估计，且??是?的相合估计（一致估计）c） 证明?。 MLEMLE?1xe?dx?0， 解：（1）EX????2???|x|x|x|???112??2EX??xedx??xe?dx??2?0?2??xx??2???????2?xe?dx???xe??0??0xxx??????????????2e???2?2??2?x?e?2?edx??2?????0??0??0??????，

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??2MME??1n2?Xi 2ni?1?2，??或：DX?EX??EX??2?，S?DX??2?MME?222S2

1（2）似然函数：L??e2?i?1d?lnL???n?12d???（3）EX?nn?|xi|?，L?1?n?2??en??ii?1n|x|，lnL??nln(2?)?x??i?11ni

n1，令，x??2?i????i?1?x???xi?1i??0，?MLE1n??Xi ni?1?????0xxx???????????1?????xedx???xe???edx????e???? 0???0??02?E?MLE1n?是?的无偏估计，EX??EXi?EX??，?MLEni?12?EX2?2?2，

DX?EX??EX?2?1n?D?X??2?2?????，D??Xi?? ?nn?ni?1?222??P?MLE?E?MLE

??2?是?的相合估计 ???2?0，?MLEn??《 概率论与数理统计 》试卷A第 5 页 共 5 页