内容发布更新时间 : 2024/12/24 11:42:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 学院 专业 座位号 诚信应考,考试作弊将带来严重后果!
华南理工大学期末考试
《概率论与数理统计》试卷(A)
注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚;
2. 允许使用计算器,所有答案请直接答在试卷上; 3.考试形式:闭卷;
4. 本试卷共七大题,满分100分,考试时间120分钟。 题 号 一 二 三 四 得 分 评卷人 可能用到的表值:
五 六 七 总分 ?(1.285)?0.9,?(1.645)?0.95,?(1.96)?0.975,?(2.33)?0.99
t0.025(35)?2.0301,t0.025(36)?2.0281,t0.05(35)?1.6896,t0.05(36)?1.6883
一.单项选择题(本大题共五小题,每小题3分,共15分):本大题中每个小题都列有四
个选项,请选取一个最合适的选项、并将所选选项前的字母标号填入题后的括号内。 1.下述命题中正确的是(A)。
A.如果A?B,则B?A B.AB?B?A C.如果事件A、B独立,则P(A?B)?P(A)?P(B) D. AB(AB)?A 2.设X1,X2,...,Xn独立同分布,X1~B(1,p),则P(X?k/n)?( C )。 A.p
kkC. Cnp(1?p)n?k
_____________ ________ 姓名 学号 B. 1?p
k D. Cn(1?p)kpn?k
3. 设连续随机变量X的密度函数满足f(x)?f(?x),x?是X的上?分位数,则。 P(X?x?)?( D )
A.2?? B. 1?2? C.2??1 D. 2?
4.设X,Y是一维随机变量、方差存在,且相关系数?XY?0,则下述说法正确的是( D )。 A.X,Y不存在任何函数关系 B.X,Y独立
C.D(XY)?DX?DY D.D(X?2Y)?DX?4DY
5. 设X1,X2,...,Xn是来自总体X~N(?,?)的样本,则下述说法中正确的是( D )。 A.X~1N(?,?2) B. ?222(X?X)~?(n) ?ii?1n2《 概率论与数理统计 》试卷A第 1 页 共 5 页
n(X??)1 C. ~t(n) D. ?2S22(X??)~?(n) ?ii?1n二.填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)。 1.如果事件A、B独立且不相容,则Max{P(A),P(B)}=__1___。 2. 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为 (X,Y)P(1,0)0.4(1,1)0.2(2,0)a(2,1) b 若E(XY)?0.8,a=__0.1___ 。
3. 设X~N(0,1),Y~N(1,1),且X与Y相互独立,则P(X?Y?1)?__0.5_____。 4. 设X1,X2,...,X5是来自总体X~N(1,1)的样本,则1(2X1?X2?X3)2?1(X4?X5)2的数学期62望是_ 2___。
三.(本大题10分)。一个盒子中装有4个白球、6个红球,现投掷一枚均匀的骰子,骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个球。试求: a)所取的全是白球的概率。
b)如果已知取出的都是白球,那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少?
?C4j,?(1)P(Bj)?1/6,P(A|Bj)??Cj10?0,?jj?4j?4
P(A)??P(Bj)P(A|Bj)=2/21=0.095
(2)P(B3|A)?
四.(本大题10分)。设某次概率统计考试考生的成绩X~N(?,?2),从中随机地抽取 36 位考生的成绩,算得平均成绩为x?66.5分,标准差为s?15分. a) 在置信度为0.95时,求出学生成绩数学期望?的置信区间。
b) 在显著性水平?=0.05下,检验是否可以认为这次考试的平均成绩为70分。 解:(1)
P(B3)P(A|B3)=7/120=0.058
P(A)X??S2n~t(n?1),??x??Snt0.975?35??15?2.0301?5.07525 6学生成绩数学期望?的置信区间:(61.42,71.58)
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(2)H0:??70,H1:??70,
?????X?70?66.5?70?1.4?t0.975?35??2.0301 拒绝域:A???t0.975?35??,
2215?S???36n??不拒绝原假设。可以认为这次考试的平均成绩为70分。
五.(本大题14分)。设(X,Y)的联合密度函数是:
?A(x2?10?x?1,0?y?22xy), f(x,y)??0其它?a) 说明A=6/7;
b) 求X的密度函数及EX; c) 求P(X>Y)。 解:(1)
1?????????? f(x,y)dxdy??dx?A(x2?12xy)dy0012?A?(2x2?x)dx?07A?1 6A?6 7(2)X的密度函数:
fX?x???????1226?22xy)dy?x?x,??0A(x?12f(x,y)dy??77??0,0?x?1x?0andx?1
??11265EX??xf(x,y)dx??x(x2?x)dx?
??0777(3)P(X?Y)???Df(x,y)dxdy??dx?A(x2?12xy)dy
001x1515??Ax3dx? 0456 六.(本大题14分)。假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件?试用如下两种指定的方法求解:
a)使用契比雪夫不等式。 b)使用中心极限定理。 解:
(1)使用契比雪夫不等式,
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1n1nP{76%??Xi?84%}?P{?0.04??Xi?0.8?0.04}ni?1ni?11n1n?P{|?Xi?0.8|?0.04}?1?D(?Xi)/(0.04)2ni?1ni?1?1?100/n?0.9n?1000
这批产品至少要生产1000件 (2)使用中心极限定理
1n1nP{76%??Xi?84%}?P{?0.04??Xi?0.8?0.04}ni?1ni?11n|?Xi?0.8|1nn?P{|?Xi?0.8|?0.04}?P{i?1?ni?10.16/n0.04?2?()?1?0.90.16/n0.040.16/n?1.645,n?270.6025
0.040.16/n}
这批产品至少要生产271件
1??七.(本大题17分)。设总体X的密度函数是f(x;?)?e,其中?>0是参数。样本
2?|x|X1,X2,...,Xn来自总体X。
?a) 求?的矩估计?MME; ?; b) 求?的最大似然估计?MLE?是?的无偏估计,且??是?的相合估计(一致估计)c) 证明?。 MLEMLE?1xe?dx?0, 解:(1)EX????2???|x|x|x|???112??2EX??xedx??xe?dx??2?0?2??xx??2???????2?xe?dx???xe??0??0xxx??????????????2e???2?2??2?x?e?2?edx??2?????0??0??0??????,
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??2MME??1n2?Xi 2ni?1?2,??或:DX?EX??EX??2?,S?DX??2?MME?222S2
1(2)似然函数:L??e2?i?1d?lnL???n?12d???(3)EX?nn?|xi|?,L?1?n?2??en??ii?1n|x|,lnL??nln(2?)?x??i?11ni
n1,令,x??2?i????i?1?x???xi?1i??0,?MLE1n??Xi ni?1?????0xxx???????????1?????xedx???xe???edx????e???? 0???0??02?E?MLE1n?是?的无偏估计,EX??EXi?EX??,?MLEni?12?EX2?2?2,
DX?EX??EX?2?1n?D?X??2?2?????,D??Xi?? ?nn?ni?1?222??P?MLE?E?MLE
??2?是?的相合估计 ???2?0,?MLEn??《 概率论与数理统计 》试卷A第 5 页 共 5 页