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罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型

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1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：

（a）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若Z?t??X?t?Y?t?，则 （b）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若Z?t??X?t?Y?t?，则

gg（c）如果Z?t??X?t??，则Z?t?/Z?t???X?t?/X?t?

证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：

因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a）的结果。

（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：

因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果: 则得到（b）的结果。

（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：

?又由于ln?X?t????lnX?t?，其中?是常数，有下面的结果：

??则得到（c）的结果。

1.2 假设某变量X的增长率为常数且在0~t1时刻等于a?0，在t1时刻下降为0，在t1~t2时刻逐渐由0上升到a，在t2时刻之后不变且等于a。

（a）画出作为时间函数的X的增长率的图形。 （b）画出作为时间函数的lnX的图形。

答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。

从0时刻到t1时刻X的增长率为常数且等于a（a?0），为图形中的第一段。X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。从t2时刻之后，X的增长率再次变为a。

图1-1 时间函数X的增长率

（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即： 因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t1时刻，lnX的斜率为a（a?0），在t1时刻，X?t?的增长率出现不连续的变化，因此lnX的斜率出现扭曲，在

t1时刻至t2时刻，lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a?0）。

图1-2 lnX关于时间的图形

1.3 描述下面的每一种变化（如果存在的话）怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。

（a）折旧率下降。 （b）技术进步率上升。

（c）生产函数是柯布—道格拉斯型，f?k??k?，并且资本份额?上升。 （d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。

答：（a）折旧率下降的影响

由于持平投资线的斜率为?n?g???，当折旧率?下降后，持平投资线的斜率下降，持平投资线向右转，而实际投资线则不受影响。从图1-3可以看出，平衡增长路径

?的资本存量水平从k?上升到kNEW。

图1-3 折旧率下降的影响