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2019年山东省各地市一模数学试题分类汇编（理科）

数学文化

一、选择题

1.（临沂一模6）赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)．如图，设AB：BC=1：3，若向弦图内随机抛掷5000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为

A. 134 【答案】C

B. 67 C. 200 D. 250

【分析】根据题意，设AB=x，用x表示出小正方形的面积和大正方形的面积，即可判断出落在阴影部分的米粒数量。 【解析】设AB=x，则BC=3x 所以AC=4x

所以大正方形的边长为5x 小正方形与大正方形的面积比为

所以向图内随机抛掷5000颗米粒，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为 5000×=200 所以选C

【点评】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题。

2.（潍坊一模11）如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱

上最少需要移动的次数记为，则（ ）

A. 33 【答案】D

B. 31 C. 17 D. 15

【分析】由简单的合情推理得：

n是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，

n由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2，所以P（n）＝2﹣1，得解．

【解析】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1）， 则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，

则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1， 即

是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，

nn由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2，所以P（n）＝2﹣1， 即P（4）＝24﹣1＝15， 故选：D．

【点评】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题．

3.（聊城一模10）数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）

A．5.5 【答案】B

B．5 C．6 D．6.5

【解析】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；

结合图中数据，计算该几何体的体积为

V＝V三棱柱﹣2V三棱锥＝×3×1×4﹣2×××3×1×1＝5（立方丈）． 故选：B．

4.（济南3月12）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线

，直线为曲线在点

处的切线.如图所示，阴影

部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：

① ② ③ ④

图①是底面直径和高均为的圆锥；

图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体； 图③是底面边长和高均为的正四棱锥；