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2011-2012学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 8

北 京 交 通 大 学

2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）

参 考 答 案

一．（本题满分8分）

在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率． 解：

设A?“任取一个家庭拥有汽车”，B?“任取一个家庭拥有房产”．由题设得 P?A??0.6，P?B??0.3，P?AB??0.2．

因此有 P?AB??P?A?AB??P?A??P?AB??0.6?0.2?0.4； P?AB??P?B?AB??P?B??P?AB??0.3?0.2?0.1． 所求概率为

PAB?AB?PAB?PAB?0.4?0.1?0.5． 二．（本题满分8分）

假设一个人在一年中患感冒的次数X服从参数为??4的Poisson分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数?降为??1（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数?降为??3（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解：

?????? 设A1??此药疗效显著?，A2??此药疗效一般?，A3??此药无效?，

?． 患次感冒 B??某人一年中2 由题设，可知如果事件A1发生，则X服从参数为??1的Poisson分布；如果事件A2发生，

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则X服从参数为??3的Poisson分布；如果事件A3发生，则X服从参数为??4的Poisson分布．因此，由Bayes公式，我们有 P?A1B??P?A1?P?BA1??P?A?P?Bkk?13Ak?

12?10.22?e2?0.220 6． ?21?132?342?40.22?e?0.37?e?0.41?e222三．（本题满分8分）

某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X（单位：分钟）服从??

1

的指数4

分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：

x?1?4? X的密度函数为pX?x???4e??0x?0 ． x?0设A?“候车时间超过5分钟”，则

?1?4 p?P?X?5???edx?e4．

45??x5 设Y：一周5天中他需要步行上班的天数．则Y~B?5,0011 P?Y?2??1?P?Y?1??1?C5p?1?p??C5p?1?p?

54555???????4?4?4? ?1???1?e??5?e??1?e??0.4438． ????54p?，因此所求概率为

四．（本题满分8分）

设随机变量X的密度函数为

?cx2?x0?x?0.5f?x???．

其它?0⑴ 求常数c；⑵ 求X的分布函数F?x?．

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解：

?? ⑴ 由密度函数的性质

??0???f?x?dx?1，得

0.5??0.5 1????f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?????00.501?c1?ccx2?xdx??x3?x2???，

32248??0?0.5解方程，得c?21． ⑵ 当x?0时，F?x?????f?t?dt?0；

??x 当0?x?0.5时，F?x?? 当x?0.5时，F?x??x?f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt?????0000.5xx0xxx221t?tdt?7x?；

22?3???f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt?1．

??00.5 综上所述，随机变量X的分布函数为

?0?3x2F?x???7x?2??1五．（本题满分8分） 设n个随机变量X1,x?00?x?0.5 ． x?0.5X2,?,Xn相互独立，都服从区间?0,1?上的均匀分布，令

X2,?,Xn?，

Y?max?X1,⑴ 求随机变量Y的密度函数pY?x?；⑵ 求数学期望E?Y?． 解：

?10?x?1 ⑴ 随机变量X的密度函数为pX?x??? ，分布函数为

?0其它?0x?0? FX?x???x0?x?1 ．

?1x?1? 随机变量Y的密度函数为 pY?x??n?FX?x??n?1?nxn?10?x?1pX?x??? ．

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