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小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

一、填空题

1．三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是___m-2____和___m+2_ __。 2．有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。

解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、……966

3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。 解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=1

4．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。 5．2310的所有约数的和是__6912____。

解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11） 6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。 解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个） 其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）

7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__ 1000 __。

解题过程：1，5，9，13，……1997（500个） 隔1个取1个，共取250个 2，6，10，14，……1998（500个）隔1个取1个，共取250个 3，7，11，15，……1999（500个）隔1个取1个，共取250个 4，8，12，16，……1996（499个）隔1个取1个，共取250个

8．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是____27____。

1

解题过程：1+3+5+……+（2n-1）=n2；45×45=2025；2025-1998=27

9．一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。它除以13，商的第200位（从左往右数）数字是_____5____，商的个位数字是_____6____，余数是____5_____。 解题过程：33333333……3÷13=256410 256410……

10．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有____18____个。 解题过程：能被11整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11的倍数； 1位数不满足条件；2位数也不满足条件（各位数字应相等，数字和不等于13）； 应为3或4位数；13=12+1；偶数位数字和=1，奇数位数字和=12时，共有14个；

偶数位数字和=12，奇数位数字和=1时，共有4个；14+4=18（个）

11．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n＝___1089___。

解题过程：千位只能是1；个位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1，则十位必须为0， 但所得数1109不满足题意；如百位是0，则十位必须为8，得数1089满足题意 12．555555的约数中，最大的三位数是___555____。 解题过程：555555=3×5×11×37×91；3×5×37=555

13．设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有____17____种不同的值。

解题过程：72=2×2×2×3×3；a=72，b=（1+3）×（1+2）-1=12-1=11；a=36，b=8或24； a=24，b=9或18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=17

14．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有____21____个。 解题过程：6×1，2，3，……13 共13个；

12×7，8，9，……13=6×14，16，18，……26 共7个；

9×10=6×15 共1个； 13+7+1=21（个）

2

15．一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是____2_____。

解题过程：a2-a1=1；a3-a2=2；……an-1-an-2=n-2；an-an-1=n-1； an-a1=1+2+3+……+n-1=n（n-1）/2；an= n（n-1）/2+1；

a1992=1992×（1992-1）/2+1=996×1991+1=（995+1）×（1990+1）+1 16．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是_ 20或40 _。 解题过程：（a、b）=5；5|a，5|b；a=5，b=45或a=15，b=35

17．将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是____121___。

解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11的倍数，即11的平方。 18．100以内所有被5除余1的自然数的和是____970___。 解题过程：1+6+11+16+……91+96=（1+96）×20÷2=970

19．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多_____4____个。

解题过程：9个连续的自然数，末尾可能是0-9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，

末尾是5 的一定被5整除，每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数．于是质数只可能在这5个连续的奇数中，所以质数个数不能超过4

20．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是___961____。

解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比如1和本身是一对，出现奇数个因数的时候是

因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。1000以内最大的完全平方数是 312=961，所以这个希望数是 961

21．两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。这两个数的和是__105或147__。 解题过程：126=21×2×3；这两个数是42和63，或21和126

22．甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是____32____。 解题过程： 4 | 36 4×8=32

3

36÷4=9 288÷4÷9=8

23．一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是___560____。

解题过程：2×5×7=70；70×2，3，4，……13，14=140，210，280，……910，980 24．有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是____30____。

解题过程：最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4个数和为11，分别为1、2、3、5 25．两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是____30____。

解题过程：设除数是X，则12X+26+X+12+26=454；X=30 26．在1×2×3×…×100的积的尾部有____21___个连续的零。

解题过程：尾数为5的共10个，尾数1个0的9个，2个0的1个，共21个0

27．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5个数的末位数字是____9_____。 解题过程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170…… 1479、1497、1749、1794……

28．一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是____18____。

解题过程：求?36?中能被3整除的偶数；甲为9366，乙为1362；9+6+1+2=18

29．把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、…、9、10、11、12、…，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1、2、…、9、1、0、1、1、1、2、1、3、…。则第一串数中100的个位数字0在第二串数中是第____192___个数。 解题过程：1-9（共9个），10-99（共180个），100（共3个）

30．某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有_____1____个满足上述条件的质数。 解题过程：除2和5以外，其它质数的个位都是1，3，7，9；

6，8，12，14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2；

4

14加上任何尾数是1的质数，最后的尾数都是5，一定能被5整除；12加上任何尾数是3的质数，尾数也是5；8加上任何尾数是7的质数，尾数也是5；6加上任何尾数是9的质数，尾数也是5；

所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9； 只有5符合

31．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300。那么满足上述条件的自然数a、b、c共有____30____组。（例如a＝12，b＝300，c＝300，与a＝300，b＝12，c＝300是不同的两个自然数组）

解题过程：∵（a，b）=12，∴a=12m，b=12n（m，n=1或5或25，且（m，n）=1）；

∵[a，c]=300，[b，c]=300，∴c=25k（k=1，2，3，4，6，12）； 当m=1，n=1时，a=12，b=12，c=25k 当m=1，n=5时，a=12，b=60，c=25k 当m=1，n=25时，a=12，b=300，c=25k 当m=5，n=1时，a=60，b=12，c=25k 当m=25，n=1时，a=300，b=12，c=25k 故有30组

32．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行。从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是___1331___。 解题过程：11×11×11=1331

33．在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8＋9＝17，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9＋7＝16；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7＋6＝13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3。继续这样求和，这样填写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是___1990___。

解题过程：1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，……

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