内容发布更新时间 : 2024/11/9 14:39:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
【解析】 由题意知AE?S△CEF:S△ABC112AC、CF?BC，可得CE?AC．根据”共角定理”可得， 333?(CF?CE):(CB?AC)??1?2?:(3?3)?2:9；而S△ABC?6?6?2?18；所以S△CEF?4；
同理得，S△CDE:S△ACD?2:3;，S△CDE?18?3?2?12，S△CDF?6
故S△DEF?S△CEF?S△DEC?S△DFC?4?12?6?10(平方厘米)．
【答案】10
【例 8】 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD?AB；延长BC至E，使CE?2BC；延
长CA至F，使AF?3AC，求三角形DEF的面积．
FFABDCEBDACE
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．
连接AE、CD． S1∵ABC?，SABC?1， SDBC1∴SDBC?1．
同理可得其它，最后三角形DEF的面积?18．
(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，?ACB与?FCE互补， SAC?BC1?11∴ABC???． SFCEFC?CE4?28又SABC
?1，所以SADFFCE?8．
BDE同理可得S?6，S?3．
所以SDEF?SABC?SFCE?SADF?SBDE?1?8?6?3?18．
【答案】18
【例 9】 如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方
厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD，ED，BG，
有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有SEAD?EASABABD?2SABD．
AHSEAD?3SEAD?6SABD． EAHAD类似的，还可得SFCG?6SBCD，有SEAH?S同理S?FCGDHG?6?S?6SABD?SBCD??6SABCD=30平方厘米．
连接AC，AF，HC，还可得SEFB?6SABC，SACD，
有SEFB?SDHG?6?SABC?SACD??6SABCD=30平方厘米.
有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD，有EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，
EA?AH=2×3=6，所以SAB?ADEAH=6SABD．
类似的，还可得S有S+SFCG=6SBCD，有SEAH+SFCGACD=6（S，
ABD+SBCD)=6SABCD=30平方厘米．
连接AC，还可得SEFBEFB=6SABC+
ABC，
SDHG=6
SDHG=6（
SSACD）=6SABCD=30平方厘米．
有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65
【例 10】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的
面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．
HHAGDFBCEGADFBCE
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC、BD．根据共角定理
∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补，
SAB?BC1?11∴△ABC???． S△FBEBE?BF1?33又S△ABC?1，所以S△FBE?3．
同理可得S△GCF?8，S△DHG?15，S△AEH?8．
所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36．
S21所以ABCD??．
SEFGH3618【答案】
1 18
【例 11】 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求四边形
ABCD的面积．
HDAECBGHDCBGFAEF
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF?(CD?CB):(CG?CF)?1:2，即S△CGF?2S△CDB
同理S△ABD:S△AHE?1:2，即S△AHE?2S△ABD 所以S△AHE?S△CGF?2(S△CBD?S△ADB)?2S四边形ABCD 连接AC，同理可以得到S△DHG?S△BEF?2S四边形ABCD
S四边形EFGH?S△AHE?S△CGF?S△HDG?S△BEF?S四边形ABCD?5S四边形ABCD
所以S四边形ABCD?66?5?13.2平方米
【答案】13.2
【例 12】 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四
边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是 ．
FBCADHGBCFADGEEH
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC、BD．
由于BE?2AB，BF?2BC，于是S?BEF?4S?ABC，同理S?HDG?4S?ADC．
于是S?BEF?S?HDG?4S?ABC?4S?ADC?4SABCD．
再由于AE?3AB，AH?3AD，于是S?AEH?9S?ABD，同理S?CFG?9S?CBD． 于是S?AEH?S?CFG?9S?ABD?9S?CBD?9SABCD．
那么SEFGH?S?BEF?S?HDG?S?AEH?S?CFG?SABCD?4SABCD?9SABCD?SABCD?12SABCD?60．
【答案】60
1【例 13】 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD?AB，延长BC至E，使CE?BC，F是AC的中点，
2若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
AFBDCE
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在△ABC和△CFE中，?ACB与?FCE互补，
SAC?BC2?24∴△ABC???． S△FCEFC?CE1?11又SABC?2，所以SFCE?0.5．
同理可得S△ADF?2，S△BDE?3．
所以S△DEF?S△ABC?S△CEF?S△DEB?S△ADF?2?0.5?3?2?3.5
【答案】3.5
【例 14】 如图，S△ABC?1，BC?5BD，AC?4EC，DG?GS?SE，AF?FG．求SFGS．
AFGBDESC
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一
个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．
432111最后求得S△FGS的面积为S△FGS??????．
54322101【答案】
10
【例 15】 如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三
角形ABG的面积是多少平方厘米？
AEFGDAEFGDCB
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF、EG．
1因为S△BCF?S△CDE??82?16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积
4比等于夹这个角的两边长度的乘积比”SAEF?8，SEFG?8，再根据”当两个三角形有一个角相等或
BC互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到SSABF?24，所以SABG?12平方厘米．
【答案】12
【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
FHAEBFC?16，SABFE?32，
BGC 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则?AGF与?CEH都是正三角形．
假设正六边形的边长为为a，则?AGF与?CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4?2?1?7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角
149形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形DEF的面积为．
66D