内容发布更新时间 : 2025/4/3 14:27:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
一、选择题
1.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y=cos?2x+
??
π? 2??π??B.y=sin?2x+?
2??D.y=sin x+cos x
C.y=sin 2x+cos 2x
π?2π?解析:选A.y=cos?2x+?=-sin 2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故A正确;
2?2?
?y=sin?2x+
?
π?
=cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故B不正确;C、D均为非奇非偶函2??
数,其图象不关于原点对称,故C、D不正确.
π???π?2.函数f(x)=3sin?2x-?在区间?0,?上的值域为( )
6?2???
?33?A.?-,?
?22?
C.?-
?3?B.?-,3? ?2?
?3333??33?
D.?-,? ,3?
2??2?2?
π??1?π??3?π?π5π??π???解析:选B.当x∈?0,?时,2x-∈?-,?,sin?2x-?∈?-,1?,故3sin?2x-?∈?-,3?,即
2?6?6??2?6??2?6?6????3?此时函数f(x)的值域是?-,3?. ?2?
?3.若函数y=cos?ωx+
?
A.1
C.4
π??π,0?,则ω的最小值为( ) *
(ω∈N)图象的一个对称中心是??6?6???
B.2
D.8
πωππ*
解析:选B.由题意知+=kπ+(k∈Z)?ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N,所以ωmin=2,故选B.
662π3π??4.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间?,?内的图象是( )
2??2
解析:选D.y=tan x+sin x-|tan x-sin x|
?π?2tan x,x∈?,π?,?2?
=结合选项图形知,D正确.
3π??.
2sin x,x∈?π,
2???
??
???
5.(2018·惠州第三次调研)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为( ) 3A. 43C. 2
2
B.1 D.2
解析:选C.y=cos 2x+2sin x=-2sinx+2sin x+1.
1?1?3
法一:设t=sin x(-1≤t≤1),则原函数可以化为y=-2t+2t+1=-2?t-?+,所以当t=时,函数取
2?2?2
2
2
3
得最大值. 2
12
法二:设t=sin x(-1≤t≤1),则原函数可以化为y=-2t+2t+1,y′=-4t+2.当≤t≤1时,y′≤0;当
21
-1≤t≤时,y′≥0.
2
1?2113?当t=时y取得最小值,ymin=-2×??+2×+1=,选C.
222?2?
6.(2018·广州综合测试(一))已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数,直π
线y=2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( )
2
?A.f(x)在?0,
?
π??上单调递减 4?
?π3π?上单调递减
B.f(x)在?,?8??8
C.f(x)在?0,
?
?
π??上单调递增 4?
?π3π?上单调递增
D.f(x)在?,?8??8
π
解析:选D.f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+),因为0<φ<π且f(x)为奇函数,所
4以φ=
3ππ
,即f(x)=-2sin ωx,又直线y=2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,42
π2πππ3π
所以函数f(x)的最小正周期为,由=,可得ω=4,故f(x)=-2sin 4x,由2kπ+≤4x≤2kπ+,k
2ω222∈Z,即
kππkπ3ππ3π?π3π?+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,此时f(x)在?,?上单调递增,故选D.
8?282888?8
二、填空题
?π?7.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f??=-2,则f(x)的单调递减区间是________.
?8?
π
解析:当x=时,f(x)有最小值-2,
8ππ
所以2×+φ=-+2kπ,
823
即φ=-π+2kπ,k∈Z,
4又因为|φ|<π, 3
所以φ=-π.
4
3
所以f(x)=-2sin(2x-π).
4由-得
π3π
+2kπ≤2x-π≤+2kπ, 242
π5
+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z, 88
5?π?所以函数f(x)的单调递减区间为?+kπ,π+kπ?,k∈Z. 8?8?5?π?答案:?+kπ,π+kπ?,k∈Z
8?8?
π?π2π?8.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间?,?上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,
3?2?6
?π?则f??等于________.
?4?
ππ
ω+φ=+2kπ??62
解析:由题意知?,k∈Z,
2π3π??3ω+φ=2+2kππ
解之得ω=2,φ=+2kπ,
6ππ
又因为|φ|<,所以φ=. 26所以f(x)=sin?2x+
??
π?. 6??
π3?π??ππ?所以f??=sin?2×+?=cos=. 46?62?4??答案:
3
2
π???π?9.已知函数f(x)=3sin?ωx-?(ω>0)和g(x)=3·cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈?0,?,6?2???则f(x)的取值范围是________.
π??解析:由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin?2x-?,
6??ππ5π?π?当x∈?0,?时,-≤2x-≤,
2?666?π?1??3?所以-≤sin?2x-?≤1,故f(x)∈?-,3?.
6?2??2?
?3?答案:?-,3?
?2?
?π?10.(2018·石家庄质量检测(一))若函数f(x)=3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于?,0?对?2??ππ?称,则函数f(x)在?-,?上的最小值是________.
?46?
?解析:f(x)=3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin?2x+θ+
?
π?π?π?,则由题意,知f??=2sin(π+θ+)=0,?6?6?2?
5π?ππ??ππ?又0<θ<π,所以θ=,所以f(x)=-2sin 2x,f(x)在?-,?上是减函数,所以函数f(x)在?-,?上
6?44??46?π?π?的最小值为f??=-2sin=-3. 3?6?
答案:-3
三、解答题
11.(2017·高考北京卷)已知函数f(x)=3cos(2x-(1)求f(x)的最小正周期;
1?ππ?(2)求证:当x∈?-,?时,f(x)≥-. 2?44?
π
)-2sin xcos x. 3