内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:17:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1.若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE C.EF=-OF+OE
D.EF=-OF-OE 2.在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,AN=λAB+μAC,则λ+
μ的值为( )
1
A. 21
C. 4
1B. 3D.1
3.设P是△ABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( ) A.P、A、B三点共线 C.P、B、C三点共线
B.P、A、C三点共线 D.以上均不正确
4.已知点O,N在△ABC所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,则点O,N依次是△ABC的( )
A.重心 外心 C.外心 重心
B.重心 内心 D.外心 内心
5.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD=( )
3A.a+b
413B.a+b 4411C.a+b 4431D.a+b 44
6.已知△ABC中,点D是BC的中点,过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若
AB=λAE (λ>0),AC=μAF (μ>0),则+的最小值是( )
λμA.9
7B. 2
14
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C.5 二、填空题
9D. 2
7.设向量a,b满足|a|=25,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________. 8.设a,b是两个不共线的非零向量,若8a+kb与ka+2b共线,则实数k=________. 9.如图所示,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若OP=aOP1+bOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a,b满足
a________0,b________0(用“>”,“<”或“=”填空).
三、解答题
2
10.△ABC中,AD=AB,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM3交DE于N.设AB=a,AC=b,用a、b表示向量AE、BC、DE、
DN、AM、AN.
11.已知OB=λOA+μOC (λ、μ为实数),若A、B、C三点共线,求证λ+μ=1.
12.已知△ABC中,AB=a,AC=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP=
OA+λa+λb,则动点P的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
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详解答案
一、选择题
1.解析:由减法的三角形法则知EF=OF-OE. 答案:B
2.解析:∵M为边BC上任意一点, ∴可设AM=xAB+yAC (x+y=1). ∴N为AM中点,
111
∴AN=AM=xAB+yAC=λAB+μAC.
22211
∴λ+μ=(x+y)=. 22答案:A
3.解析:∵BC+BA=2BP,∴BC-BP=BP-BA. 即 PC=AP, ∴P、A、C三点共线. 答案:B
4.解析:由|OA|=|OB|=|OC|知,O为△ABC的外心;NA+NB+NC=0,知,
N为△ABC的重心.
答案:C
11
5. 解析:CB=AB-AC=a-b,又BD=3DC,∴CD=CB=(a-b),∴AD44113
=AC+CD=b+(a-b)=a+b.
444
答案:B
6.解析:由题意得,AB+AC=2AD=λAE+μAF?AD=
λ2
AE+
μ2
AF,
λμ14λμ1452λμ又D、E、F在同一条直线上,可得+=1.所以+=(+)(+)=++
22λμ22λμ2μ2λ59
≥+2=,当且仅当2λ=μ时取等号. 22
答案:D 二、填空题
7.解析:设a=(x,y),x<0,y<0,则x-2y=0且x+y=20,解得x=4,y=2(舍
2
2
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去),或者x=-4,y=-2,即a=(-4,-2).
答案:(-4,-2)
8.解析:因为8a+kb与ka+2b共线,所以存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b),即
??8-λk=0,
(8-λk)a+(k-2λ)b=0.又a,b是两个不共线的非零向量,故?
?k-2λ=0,?
解得k=±4.
答案:±4
9. 解析:由于点P落在第Ⅲ部分,且OP=aOP1+bOP2, 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a>0,b<0. 答案:> < 三、解答题
?DE∥BC,
10. 解: ?
??2
3AC=3
b,
?
AD=3 AB
? AE=22
BC=AC-AB=b-a.
由△ADE∽△ABC,得DE=23BC=2
3(b-a).
又AM是△ABC的中线,DE∥BC, 得DN=12DE=1
3
(b-a).
又AM=12(AB+AC)=1
2
(a+b).
△ADN∽△ABM?? AD=2
3 AB ??
? AN=21
?
3AM=3(a+b). 11.证明:∵OB=λOA+μOC ∴AB=OB-OA=(λ-1) OA+μOC
CB=OB-OC=λOA+(μ-1) OC
又∵A、B、C三点共线 ∴AB=kCB 即
λ-1λ=μμ-1
=k ∴λ+μ=1.
12.解:依题意,由OP=OA+λa+λb,得OP-OA=λ(a+b),
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即AP=λ(AB+AC).如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于O,则AP=λAD,
∴A、P、D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过△ABC边
BC的中点.
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