内容发布更新时间 : 2024/12/22 21:16:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一 二维形式的柯西不等式

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是( ) A．[－25，25 ] B．[－210，210 ] C．[－10，10 ] D．(－5，5 ]

解析：∵a2＋b2＝10，∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2， 即20≥(a＋b)2，∴－25 ≤a＋b≤25. 答案：A

2．函数y＝22－x＋2x－3的最大值是( ) A．3 B．3

2 C.3

D．4 解析：y2

＝?

??2×2－xx－3??2

?

＋2× 2??

≤[22

＋(2)2

]?

?＋?3??

??2?1?

2－x2

??

x－?

2???

?

＝6×2＝3， 当且仅当2

x－3

2

＝2·2－x， 即x＝5

3时等号成立．

∴y的最大值为3. 答案：C

3．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，为常

b数，那么mx＋ny的最大值为( ) A.C.

a＋b2

B．ab D．

a2＋b2

2

a2＋b2

2

解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，当m＝n＝

a， 2

x＝y＝

答案：B

b时，(mx＋ny)max＝ab. 2

?1?2?1?2

4．若a＋b＝1，则?a＋?＋?b＋?的最小值为( )

a??b??

A．1 25

C. 2

?1?2?1?2

解析：?a＋?＋?b＋?

a??b??

B．2 7

D． 2

＝a＋2＋2＋b＋2＋2.

2

1

2

1

ab∵a＋b＝1，

1

∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)

2112

≥·(a＋b)＝， 228又2＋2≥≥ababa＋b1

1

2

2

＝8，

1

以上两个不等式都是当且仅当a＝b＝时，等号成立

2

?1?2?1?2∴?a＋?＋?b＋?

a??b??

125≥＋2＋2＋8＝， 22

125当且仅当a＝b＝时等号成立，取到最小值.

22答案：C

5．若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为( ) A．2R C．4R

B．22R D．42R 解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为4R2－x2，于是ABCD的周长l＝2(x＋4R2－x2)＝2(1×x＋1×4R2－x2)． 由柯西不等式得

l≤2[x2＋(4R2－x)2](12＋12)

＝2×2R×2＝42R. 当且仅当x·1＝4R2－x2·1， 即x＝2R时等号成立． 此时4R2－x2＝ 4R2－

2R2

1

212

＝2R，

即四边形ABCD为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为42R. 答案：D

6．若存在实数x使3x＋6＋14－x>a成立，常数a的取值范围为________．