内容发布更新时间 : 2025/1/11 5:51:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习 题 四
A 组
1．填空题
x?a)?(1) 设x=(2,3,7)T，y=(4,0,2)T，z=(1,0,2)T，且2(3y(?a?)，z则
a= ．
解 由2(x?a)?3(y?a)?z得
(2) 单个向量?线性无关的充分必要条件是 ．
解 ??0．
(3) 已知向量组??=(1,0,1),??=(2,2,3)，??=(1,3,t)线性相关，则 ．
?110110051?2t?5?0，所以t?． 解 因为?2?223?222?313t13t?1(4) 设有向量组??,??，又????????，??????2??，???????2??，则向量组??,??,??线性 ．
解 相关．
(5) 若向量组??,??,??线性相关，则向量组?????，?????，?????线性 ．
可由?1,?2线性表示，所以?1,?2,?3的秩小于等于2，从而可知?1,?2,?3线性?1,?2,?3110??1??2??110???1??110?????????解 因为??2??3???011???2?，又011?2?0，所以矩阵?011?可逆，从而
??????101?????101?1011??3???3???即?1,?2,?3与?1??2,?2??3,?3??1等价．故?1??2，?2??3,?3??1线性相关．
1． 2(6) 设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则 ． 解 a?(7) 设向量组式 ．
解 abc?0．
?1??a,0,c,2??b,c?,0?3,????线性无关，则a,b,c必满足关系a0,b,??12?2?T??2?，三维列向量???a,1,1?．已知A?与?线性相关，则(8)设三阶矩阵A=?21?304???a? ．
解 a??1．
2．选择题
(1) n维向量组a1,a2,,as(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是 ．
,ks，使k1?1?k2?2?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0； ?ks?s?0；
(A)存在一组全为零的数k1,k2,(B)存在一组不全为零的数k1,k2,(C)a1,a2,(D)a1,a2,,as中任意两个向量都线性无关；
,as中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．
答 （D）．?1,?2,,?s线性相关的充分必要条件是：?1,?2,,?s中至少有一个向量可由其余
,?s中任意一个向量
s?1个向量线性表示．所以?1,?2,都不能由其余s?1个向量线性表示．
(2) 设有两个n维向量组??,??,,?s线性无关的充分必要条件是：?1,?2,,?s、??,??,,?s，若存在两组不全为零的数k1,k2,,ks；
?1,?2,(A) (B) (C) (D)
,?s，使(k1??1)?1??(ks??s)?s?(k1??1)?1??(ks??s)?s?0；则 ．
?????,??,??,??,??,,?s??s，?????,,?s、??,??,,?s、??,??,,?s??s线性相关；
,?s均线性无关； ,?s均线性相关；
,?s??s线性无关．
?????,,?s??s，?????,答 （A）．因为
所以?1??1,,?s??s,?1??1,,?s??s线性相关．
,?m为两个n维向量组(m?2)，且
(3) 设向量组?1,?2,则有 ．
(A) (B) (C)
,?m和向量组??,??,?1,?2,?1,?2,?1,?2,,?m的秩小于??,??,,?m的秩大于??,??,,?m的秩等于??,??,,?m的秩； ,?m的秩； ,?m的秩；
1???1?01???1???2?10，又
?????????0?11??m?(D) 无法判定．
??1??01????2??10??答 （C）．因为
???????????m??11即?1,110?(?1)m?1(m?1)?0，所以有
?2,,?m与?1,?2,,?m等价，从而知?1,?2,,?m与?1,?2,,?m的秩相等．
(4) 设有两个n维向量组
?1,?2,,?m和??,??,,?m均线性无关，则向量组
?1???,?2???,,?m??m ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．
?1??1???1???1?????????例如，?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2???1?，则?1,?2和?1,?2都线性无关，但
?0??0??0??0??????????1??1,?2??2线性相关．
?1??1??1??1?????????又如， ?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2??1?,则?1,?2和?1,?2都线性无关，?1??1,?2??2?0??0??0??0?????????也线性无关．
(5) 设有向量组A???1,?2,,?s与B???,??,,?t均线性无关，且向量组A中的每个向量都不
能由向量组B线性表示，同时量组B中的每个向量也不能由向量组A线性表示，则向量组
?1,?2,,?s???,??,,?t的线性相关性为 ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．