内容发布更新时间 : 2025/1/9 6:35:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2.2.1 综合法和分析法
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．在证明命题“对于任意角θ，cosθ－sinθ＝cos2θ”的过程：“cosθ－sinθ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝cosθ－sinθ＝cos 2θ”中应用了( ) A．分析法 B．综合法
C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 答案：B
1－x2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
1＋xA．b 1C. B．－b 1D．－ 2
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4
bb解析：f(x)定义域为(－1,1)，
f(－a)＝lg答案：B
1＋a1－a－11－a＝lg()＝－lg＝－f(a)＝－b. 1－a1＋a1＋a3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b－ac<3a，则证明的依据应是( ) A．a－b>0 C．(a－b)(a－c)>0
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2
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2
B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0
2
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解析：b－ac<3a?b－ac<3a?(a＋c)－ac<3a?(a－c)·(2a＋c)>0?(a－c)(a－
b)>0.
答案：C
4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到 A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是( ) A．a
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B．a＝b＋c D．a≤b＋c
2
2
2
222
b2＋c2－a2222
解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝，所以只需b＋c－a<0，
2bc即b＋c 5．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e(x<0)，则a与b大小关系为( ) 1 x2 2 2 A．a>b C．a＝b xB．a 解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝e，当x<0时，0 ，x∈(，)，则tan(x－)＝________. 52245π3π ，x∈(，)，∴cos x＝－ 522 4 ， 5 1πtan x－1 ∴tan x＝－，∴tan(x－)＝＝－3. 241＋tan x答案：－3 7．如果aa＋bb>ab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________． 解析：aa＋bb>ab＋ba?aa－ab>ba－bb ?a(a－b)>b(a－b)?(a－b)(a－b)>0 ?(a＋b)(a－b)>0， 2 故只需a≠b且a，b都不小于零即可． 答案：a≥0，b≥0且a≠b 1 8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 2解析：∵(1＋ab)－(1＋a)(1＋b)＝1＋2ab＋ab－1－a－b－ab＝2ab－(a＋b)＝－(a－b)≤0， ∴(1＋ab)≤(1＋a)(1＋b)， 1 ∴lg(1＋ab)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 2答案：≤ 9．设a，b大于0，且a≠b，求证：a＋b>ab＋ab. 证明：要证a＋b>ab＋ab成立， 即需证(a＋b)(a－ab＋b)>ab(a＋b)成立． 又因a＋b>0， 故只需证a－ab＋b>ab成立， 即需证a－2ab＋b>0成立， 即需证(a－b)>0成立． 而依题设a≠b，则(a－b)>0显然成立． 故原不等式a＋b>ab＋ab成立． 2 3 3 2 22 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 10．设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，1 求证：函数y＝f(x＋)为偶函数． 2 证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称． ∴f(x＋1)＝f(－x) ， 1 则y＝f(x)的图象关于x＝对称， 2 2 b1 ∴－＝，∴a＝－b. 2a2 12a2 则f(x)＝ax－ax＋c＝a(x－)＋c－， 241a2 ∴f(x＋)＝ax＋c－为偶函数． 24 [B组 能力提升] 11ab1．设a>0，b>0，若3是3与3的等比中项，则＋的最小值为( ) abA．8 C．1 ababB．4 1D. 4 a＋b解析：3是3与3的等比中项?3·3＝3?3≤ ＝3?a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以aba＋b1 1 ＝?ab≤， 224 11a＋b11所以＋＝＝≥＝4. ababab1 4答案：B 2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则 l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3 B．2 D．4 解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确； 若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确； 若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B 3 3．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析：要证明A1C⊥B1D1， 只需证明B1D1⊥平面A1C1C， 因为CC1⊥B1D1， 只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1， 从而得B1D1⊥A1C1. 答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 13 4．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是 22解析：|x－a|<1?a－1 1a－1≤??213 由题意知(，)?(a－1，a＋1)，则有?223 a＋1≥??213 答案：≤a≤ 22 5．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b， 13 (且等号不同时成立)，解得≤a≤. 22 c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形． 证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C. ① 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ② π 由①②，得B＝. ③ 3 由a，b，c成等比数列，有b＝ac. ④ 由余弦定理及③， 可得b＝a＋c－2accos B＝a＋c－ac. 再由④，得a＋c－ac＝ac， 即(a－c)＝0，因此a＝c， 从而有A＝C. ⑤ π 由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形． 3 2Sn122* 6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n－n－，n∈N. n33(1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1117 (3)证明：对一切正整数n，有＋＋?＋<. a1a2an4 12 解析：(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4. 331322 (2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n－n－n， 331232 2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)－(n－1)－(n－1)， 33 122 两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n－3n＋1)－(2n－1)－， 33整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即?an??n? an＋1ana2a1 －＝1，又－＝1， n＋1n21 故数列??是首项为1，公差为1的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n. 17 (3)证明：当n＝1时，＝1<； a1411157 当n＝2时，＋＝1＋＝<； a1a2444 11111 当n≥3时，＝2<＝－，此时 ann?n－1?nn－1n1111111?11??11??1－1?＝1＋1＋1＋＋?＋＝1＋2＋2＋2＋?＋2<1＋＋?－?＋?－?＋?＋??a1a2an234n4?23??34?42?n－1n?1 1717－＝－<. n4n4 1117 综上，对一切正整数n，有＋＋?＋<. a1a2an4 ann2 5