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重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（B）课程试卷

2013~2014学年第一学期（秋）

2请保留三小数位，部分下侧分位数为：u0.95?1.65，u0.975?1.96，?0.925(5)?10，

t0.968(15)?2，t0.833(15)?1，t0.975(14)?2.145，t0.975(10)?2.228，t0.975(7)?2.365，

22 F0.90(2,2)?9，F0.90(1,1)?39.86，F0.90(1,2)?8.53，?0.95(2)?5.991，?0.95(3)?7.815，

F0.95(1,11)?4.84，F0.95(1,10)?4.96，F0.95(2,24)?3.4. 一、（24分）设总体X~N(?,?2)，X1,X2其中X，,Xn来自总体X的简单样本，

S2分别表示样本均值和样本方差。请分析和计算下列各式的值：（1）当??4时，

试确

2定

2n,使得

2P{X???1}?0.95成立；

3?X2j?1?X2j?2?2(X??)?Xi???n?16??10}P{?1},(2)P{??；（3）当时，?????S?2?i?1?j?1??(X1?X2)21并画简图说明；（4）确定常数c(c?0),使得P{?}?0.9 22(X1?X2)?(X1?X2)c解：1）

X~N(?,?2n)?X??X??1~N(0,1)?P{X???1}?P{?}?0.95 ?/n?/n?/n又??4?n?u0.975?1.96得n?62 4~N(0,1)2）

Xi????X???2且相互独立???i )又~?(2???i?1?22X2j?1?X2j?2~N(0,2?2)?X2j??X1???2?j?1?3j??X2j?1?X2j?22?2~N(0,1)2且相互

2独立

?22?~??23?X2j?1?X2j?2??Xi???2{??)??10 (?P3? ?????2?i?1?j?1??=P{?2(5)?10}?1?P{?2(5)?10}?1?0.925?0.075

3)

2(X??)X??X??4(X??)?1} ~t(n?1)且n?16??~t(15)?P{SSS/nS/164(X??)?2}?P{t(15)?2}?1?P{t(15)?2}?1?0.968?0.032.简图省略. S?P{(X1?X2)2(X1?X2)2(X1?X2)214）P{?}?P{1??c}?P{?c?1}?0.9

(X1?X2)2?(X1?X2)2c(X1?X2)2(X1?X2)2X1?X2~N(0,2?2)X1?X2~N(0,2?2)且cov(X1?X2)(X1?X2)?0 知

X1?X2X1?X2(X1?X2)2~N(0,1)~N(0,1)?(X1?X2)(X1?X2)相互独立.又~F(1,1) 2(X1?X2)2?2?(X1?X2)2?c?1}?P{F(1,1)?c?1}?0.9即c?1?39.86c?40.86 ?原式=P{2(X1?X2)注意原题缺条件，这里应该加上??0

二、（24分）设某电话总机在一个单位时间接收到的呼唤次数

X~P(?),X1,X2?；（2）,Xn是来自X的样本。求（1）参数?的最大似然估计??的无偏性和相合性；?；验证?（3）令p?P{X?1}，求参数p的最大似然估计p（4）下表是电话总机在40个单位时间内接收的呼唤次数的统计. 呼唤次数 0 1 2 3 4 5 6 频数 4 14 9 8 3 1 1 试确定参数?和p的估计值。 解：1）

n?7 0 X~P(?)?P(X?x)?n?xe??x!?xie??建立似然函数L(?)??

x!i?1indlnL(?)1nn1nlnL(?)??xiln??n???lnxi! ??xi?n?(?xi??)?0

d??i?1?ni?1i?1i?11n?????xi?X ni?1?是参数?的无偏估计。 ?)?E(X)?E(X)????2）无偏性：E(??)?D(X)?1DX???0(n??) ???是参数?的无偏估计。 相合性:D(?nn3）p?P{X?1}?P{X?0}?P{X?1}??0e??0!??1e??1??1)e??? ??(??(??1)e???p4）由表格知EX?1?14?2?9?406?1?79??X?E?1.975 ??(X)?1.9 75401.975?的值代入p??1)e???得 p??(1.97??(?将??5e?1)? 4130.三、（16分）为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特别地在各种场合下收

集到8个污水水样，每个水样分别用两种方法测定氯气含量（单位：mg/L）,数据如下：假设方法一、二测定的污水氯气的含量X,Y分别服从正态分布 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 方法一（x） 0.36 1.35 2.56 3.92 5.35 8.33 10.7 10.91 方法二（y） 0.39 0.84 1.76 3.35 4.69 7.7 10.52 10.92 222N(?1,?12)，N(?2,?2)，且计算得x?5.435，sX?17.013，y?5.021，sY?17.811（1）求参数?1??2的置信度为95%的置信区间；（2）采用配对数据检验法比较两种测定方法是否有显著差异？（??0.05）

2解：1）?12，?2未知且样本容量较小，故采用t统计量的形式

22X?Y?(?1??2)(n1?1)SX?(n2?1)SY。?1??2的置T?~t(n1?n2?2) 其中Sw?n?n?21112Sw?n1n2信度95%的置信区间为 X?Y?t1??(n1?n2?2)Sw11??0.414?4.4755?(?4.062,4.890) n1n22）因为要配对样本，故采用符号检验法。设X,Y的分布函数分别是FX(x)，FY(x).

0.5则统计假设为H0:FX(x)?FY(x)，H1:FX(x)?FY(x).由题意知，n?8，当??0时，拒绝域为{s?s0.05(8)?0} 而n?=6，n??2检验统计量的样本值

s?min(n?,n?)?2?0.故接受H0，认为两种滴定方法无显著差异。下图为两种方法测定氯气含量的比较. 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 方法（x） 0.36 1.35 2.56 3.92 5.35 8.33 10.7 10.91 方法（y） 0.39 0.84 1.76 3.35 4.69 7.7 10.52 10.92 符号 - + + + + + + -