内容发布更新时间 : 2024/6/27 0:10:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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效 …师…教… … … 无 … … … … 上…题 … …… … …答 … 院… …学… … 内 … … … … … 以 … 名…… 姓…… 线 … … … … … 封 … … … … … 密 …号… 学……………… 电子科技大学研究生试卷

（考试时间： 至 ，共 小时）

课程名称 应用随机过程 学时 60 学分 3 教学方式 讲授

考核日期 2009 年 元 月 5 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、（12分）已知随机过程{X(t),t?[?2,2]},X(t)?U?t,U为随机变量，服从?0,??的均匀分布。试求：

（1）任意两个样本函数，并绘出草图； （2）随机过程X(t)的特征函数；

（3）随机过程X(t)的均值函数，自协方差函数。 解 （1）

（2）φ(t;u)?E[ejuX(t)]?E[eju(U?t)]=ejutE[ejuU]

πu =

ejutej?1jπu （3）E(X(t))?E(U?t)?E(U)?t?t?π2； C(s,t)?E[X(s)X(t)]?E[X(s)]E[X(t)]

?E[(U?s)(U?t)]?E[U?s]E[U?t] ?E(U2)?[E(U)]2?D(U)?π212

二、（12分）设随机过程{X(t,?),???t???}只有两条样本函数

X(t,?1)?2cost，X(t,ω2)??2cost,???t??? 且P(?1)?0.8，P(?2)?0.2，分别求：

（1）一维分布函数F(0;x)和F(π4;x)；

（2）二维分布函数F(0,?4;x,y)。

解 1) 对任意实数t∈R,有

X(t)?2cots2cotsp0.20.8 特别有

X(0)?22X(π)?22p0.20.8 ，4p0.20.8

x??2;?0,? 故 F(0;x)?P{X(0)?x}??0.2?2?x?2;

?1,2?x.??0,x??2;?ππ?F(;x)?P{X()?x}??0.2,?2?x?2; 44?2?x.??1,π(X(0),X())(?2,?2)(2,2)42） p0.20.8?πF(0,;x,y)?P{X(0)?x,X()?y}

44?0,x??2或y?2;????0.2,?2?x?2,y??2或者?2?y?2,x??2; ???1,x?2,y?2.

三、（12分）设随机过程Y(t)?Xcos(?t??)，其中?为常数，随机变量X服从瑞利分布：

?x?x2?2e2? fX(x)????0?2x?0x?0?(?0 )

?~U(0,2?)，且X与?相互独立，试求随机过程Y(t)的均值函数与自协方差函数。

1??22σ212πxedx?cosω(t?y)dy?0 2?0?0σ2π C(s,t)?E[X(s)X(t)]?E[X(s)]E[X(t)]?E[X(s)X(t)]

2 ?E(X)E[cos(ωs??)cos(ωt??)]

解 E[Y(t)]?E(X)E[cosω(t??)]??x2?13xe2?0σ????0?x22σ2dx?12πcos(ωs?y)cos(ωt?y)dy ?02π?4σ2?ue?udu?12π[cosβ(t?s)?cos(β(t?s)?2θ)dθ 4π?01?4σ2?cosβ(t?s)?2σ2cosβ(t?s).

2

四、（12分）设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是??2.5（人/分）的泊松过程，试求：

（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；

（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。 解 记泊松过程为{N(t),t?0}

(5?2.5)10?5?2.5(12.5)10?12.5e?e（1）p1?P{N(5)?10}?

10!10! （2）设W10为第10位顾客出现的到达时间

(12.5)k?12.5e,t?0 p2?P{W10?5}?P{N(5)?10}??k!k?10?（3）设T是两位顾客到达间隔时间，因参数为λ的泊松过程{N(t), t≥0}的间隔时间序列相

互独立同服从参数为λ的指数分布，故两位顾客到达的平均间隔时间E{T}=1/λ. 五、（12分）设X(t)是一宽平稳随机过程，其自相关函数为

RX(t1,t2)?e若Y(t)?2X(t)??(t1?t22)2

dX(t)，试求Y(t1)与Y(t2)的自相关函数。 dt?()22? 解 记 RX(t1,t2)?RX(t1?t2)?RX(τ)?e 因 R??X(τ)?[eτ?()22

τ2τ2))τ?(2τ21?(2]???[?e]??(?)e，即RX(τ)在τ=0 处二次可微，其均

242方导数过程X?(t)为平稳过程, 有

[X(t2)?X?(t2)]} RY(t1,t2)?E{[2X(t1)?X?(t1)]2

?E[4X(t1)X(t2)]?2E[X?(t1)X(t2)]?2E[X(t1)X?(t2)]?E[X?(t1)X?(t2)]}

?4RX(τ)?2[RX?X(τ)]?2[RXX?(τ)]?RX?X?(τ)

?4RX(τ)?2[R?(τ)]?2[R?(τ)]?R??(τ)?4RX(τ)?R??(τ)

τ2τ2))τ21?(29τ2?(2?[4??]e?[?]e

4224六、（12分）设X(1), X(2),…是一个独立同分布的随机变量序列，其分布律为

X(n)?1pi n?1 令Y(n)??X(k) (n?1) 0.30.7k?11n试求下列概率：

（1）P{X(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0} （2）P{Y(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}

解 因X(1), X(2),…是独立同分布的随机变量序列, 所以和过程Y(n), (n?1)是平稳独立增量过程，从而是齐次马氏链。

又因Y(n)?Y(n?1)?X(n),且Y(n?1)和X(n)相互独立，故对n=1，2，3，…

pij?P{Y(n)?jY(n?1)?i}?P{Y(n?1)?X(n)?jY(n?1)?i} ?P{Y(n?1)?X(n)?jY(n?1)?i}?P{X(n)?j?iY(n?1)?i}

?0.3,j?i?1;??P{X(n)?j?i}??0.7,j?i?1;

?0,其他?P{X(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}= P{Y(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}=

P{Y(1)?1, i2?0,2Y(2)?i2,i3?1,3Y(3)?i3,i4?0,2,4Y(4)?i4}=

i2?0,2i3?1,3i4?0,2,4???P{Y(1)?1, Y(2)?i2,Y(3)?i3,Y(4)?i4}