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小学六年级奥数

第四讲 平面几何部分

教学目标：

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDaS1S2AbB?S△BCD；

CD反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

CBC

DAS2BDS4①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3? 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

第 1 页 共 27 页 2S1OS3S4AS2aS1OS3CBbC小学六年级奥数

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AEAFDDB①

FGEC

BGC

ADAEDEAF； ???ABACBCAG22②S△ADE：S△ABC?AF:AG．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的

AEFO三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

BD典型例题

【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面积为 ．

_HC _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

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_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ A_ E_ B

_ GD_ C _

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形ABCD中，S△ABG?1?AB?AB边上的高， 21S?S∴△ABG2同理，S△ABG?ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

1SEFGB． 2∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽?8?8?10?6.4(厘米)．

【例 2】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

AHDEGBFC D【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HAEGB 可得：S?EHB? 即S?EHB111S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36

22211?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18；

2211111?BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5． 22228?18?4.5?13.5

FC

而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF? 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF那么图形就可变成右图：

A 解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，

D(H)EG

这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

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1111111S?S?S?S?S?36???36????36???36?13.5． 阴影ABCD?AED?BEF?CFD2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分

别与P点连接,求阴影部分面积．

ADA(P)DADPPCCBB

【解析】 （法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部

11分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面

4611积为62?(?)?15平方厘米．

46（法2）连接PA、PC．

BC由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和

11等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的，

4611所以阴影部分的面积为62?(?)?15平方厘米．

46

【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8，AD?15，四边形EFGO的面积

为 ．

ADOEBFGC

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．

由于长方形ABCD的面积为15?8?120，所以三角形BOC的面积为120?1?30，所以三角形AOE和43DOG的面积之和为120??70?20；

4?11?又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120?????30，所以四边形EFGO的面积为

?24?30?20?10．

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积?三角形AFC面积?三角形BFD面积?白色部分的面积，而三角形AFC面积?三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120?70?50，所以四边形的面积为60?50?10．

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分的面积为 ．

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AOB【解析】 如图，连接OE．

EDAMOBENDC

C

根据蝴蝶定理，ON:ND?S?COE:S?CDE?11S?CAE:S?CDE?1:1，所以S?OEN?S?OED；

2211OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:4，所以S?OEM?S?OEA．

52又S?OED?11?S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影部分面积为：3?1?6?1?2.7． 3425

【例 4】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)

A甲乙IJMBNH丙EDF

【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有S?ABCC?S丙?S?ABN?S?AMC?SAMHN，

?SAMHN．

1?400?43． 4即400?S丙? 200?200?SAMHN，所以S丙又S阴影?S?ADF?S甲?S乙?SAMHN，所以S阴影?S甲?S乙?S丙?S?ADF?143?

【例 5】 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．

AACDBEFGCDBEFG

【解析】 连接AF，BD．

根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28；

15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，S?AED?7S?ADG， 272827287122115S?S?CBF?38； S?S?65于是：；?ADG?ADG?CBF28272827所以，S?BEF?第 5 页 共 27 页