内容发布更新时间 : 2025/1/22 18:55:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 质点的运动

1－1已知质点运动方程为x??Rsin?t，y?R(1?cos?t)，式中R，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。

解：

?vx?dxdy??Rwcoswt,vy???Rwsinwtdtdt

22?v?vx?vy?Rw?ax?dvydvx?Rw2sinwt,ay??Rw2coswtdtdt

22?a?ax?ay?Rw2?x?Rsinwt,y?R(1?coswt)

?轨迹方程为x2?(y?R)2?R2

质点轨迹方程以R为半径，圆心位于（0，R）点的圆的方程，即质点作匀速率圆

周运动，角速度为ω；速度v = Rω；加速度 a = Rω2

1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h处所需时间为t1，自抛出经最高点再回到同一高度h处所需时间为t2，求证：h =gt1 t2/2

解：设抛出点的速度为v0，从高度h到最高点的时间为t3，则

?v0?g(t1?t2)?0,t1?2t3?t2?v0?g(t1?t2)/2?h?v0t?(t?t)121gt?g12t1?gt12 2221?gt1t221－3一艘正以v0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a＝?kv2，k为一常数，求证船在行驶距离x时的速率为v=v0e?kx.

解：取汽艇行驶的方向为正方向，则

?a??dv??kv2,dtv?dxdtdvdv??kvdt,??kdxvvvdvx???kdx ?? v0v0vln??kxv0?v?v0e?kx1－4行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度V0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

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22?l2?v0t?(H?h)22v0tdl??22dtv0t?(H?h)22(H?h)2v0d2l?22223/2dt??(H?h)?v0t??

所以小车移动的速度v?2v0t(H?h)?vt2(H?h)2v022220

小车移动的加速度a??(H?h)?vt223/20?

1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a0，以后加速度以a?a0?匀增加（式中b为一常数），求经t秒后，质点的速度和位移。

解：

a0t均b?a?vdv,dtta?a0?a0tb?dv?(a0?a0t)dtba0dv?(a??0?00bt)dtdx?v?,vdt?dxdtta0t2?v?a0t?2b

?a0t2???a0t??dt?dx2b??a0t2a0t3?x??26b－

x?a0t2?a0t??dt??0dx?0?2b??1－6一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m·s1的初速率罚任意球，已知球门高

为3.44m。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）

解：由运动方程x?vtcos?,y?vtsin??12gt,消去t得轨迹方程， 2g(tg2??1)x2 22v－

以x＝25.0m，v＝20.0ms1，以及3.44m?y?0代入后得

y?xtg??69.92???1?71.11?18.89??2?27.92??

1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？

解：由运动方程x?vtcos?,y?vtsin??12gt,消去t得轨迹方程 2y?xtg??g22(tg??1)x 22v－1

以x＝05.0m ，v＝25ms代入后得

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g(1?tg2?)?50222?25?50tg??20(1?tg2?) y?50tg??5??20(tg??)2?11.254取g＝10.0，则当tg??1.25时，ymax?11.25〈13

所以他不能射中，能射中得最大高度为ymax?11.25 1－8质点做半径为R的圆周运动，其路程按规律s?ct?12bt运动，式中b、c为常2数，求:（1）t时刻质点的角速度和角加速度；（2）当切向加速度等于法向加速度时，质点运动经历的时间。

解：（1）质点做圆周运动的速率v?ds?c?bt dtcbt?角速度w?v/R??

RRd2sat?2??b 切向加速度

dtab?角加速度??t??

RRv2(c?bt)2an??（2）法向加速度

RR(c?bt)2当at?an时，??b

R?(c?bt)2?RbcRt??bb

1－9一质点作半径为R的圆周运动，初速为v0，若其加速度a与速度v之间的夹角θ

恒定不变，求质点运动的速率随时间的变化v(t)，及其切向加速度、法向加速度的大小。

解：速度沿着切向方向，加速度与速度成恒定的夹角，则

dvv2?an?asin??,at?acos??dtR1dv ?ctg?dt?2Rvt1vdvctg?dt??0R?v0v2v0R?v?；

R?v0t?ctg?v0Rv02Rv22an??()/R?RR?v0t?ctg?(R?v0t?ctg?)2anv02Rctg?at??tg?(R?v0t?ctg?)2

；

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1－10飞机以100m·s-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？ 解：

（1）

12y?y＝gt2，t＝2g?x?v2y?452mgy?12.5? x （2）?2v＝（gt）?v20?arctgdvgt2at＝＝22dt（gt）?v0（3）?at?1.96m/s2,g?10.0(或1.88m/s2,g=9.8）

2?a?at2?an?g?an?g2?at2?9.80m/s2,g?10.0(或9.62m/s2，g＝9.8)

1－11一无风的下雨天，一列火车以v1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降，求雨滴下落的速度v2。（设下降的雨滴作匀速运动）

解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2，旅客看到雨滴下落速度V2’为相对速度，它们之间的关系为

???v2?v2'?v1

?v2?v1/tg75??5.36ms?1

1－12升降机以加速度a0=1.22m·s?2上升，当上升速度为2.44m·s?1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求：（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。

解：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a’=g+a,螺丝落到底面时，

10?h?(g?a)t22有

2ht??0.705sg?a（2）由于升降机在t时间内的高度为

则d?h?h'?0.716m

1－13飞机A相对地面以vA =1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vB =800 km/h的速率向东偏南30°方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。

解：

1h'?v0t?at22

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