内容发布更新时间 : 2024/6/27 0:08:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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江苏省高考数学复习专题 导数

1．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．

2．(2010·江苏高考)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.

3．若函数f(x)＝ex－2x－a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是________．

4．(2010·江苏高考)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行?梯形的周长?2

于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S

梯形的面积的最小值是________．

5．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．

[典例1]

(2012·扬州调研)已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝ex ln x(e是自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y2＝4(x－1)的切线，求a的值； (2)若对于任意x∈R，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值范围；

(3)当a＝－1时，是否存在x0∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．

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第一问考查导数的几何意义；第二问还可采用分离参数构造函数求最值的方法，不过也要进行讨论；第三问先求f(x)的最小值，然后再研究函数h(x)＝g(x)－f(x)＝exln x－ex＋x在x＝x0处的切线斜率，最后利用函数与方程思想，把方程实根的问题转化为函数的零点问题．

[演练1]

已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．

(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； (2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

[典例2]

(2012·苏锡常镇一调)若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间(也可在直线l，m上)，则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k)．

(1)若曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤2)，求d(－1)；

(2)已知k>2，若曲线C：y＝x3－x(－1≤x≤2)，求关于k的函数关系式d(k)．

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本题是一个即时定义问题，背景新颖，在解决第二问时要注意将k看成一个常数，对k进行讨论，探究出两条直线与曲线C的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经过点，并且了解经过哪个点．这些都可以利用导数这个工具解决．

[演练2]

1

设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.

x＋b(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

[典例3]

(2012·泰州中学期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值；

(3)若过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．