内容发布更新时间 : 2024/5/13 21:29:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第6节 对数与对数函数
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
M
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②logaN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
n
④loga mMn＝mlogaM(m，n∈R，且m≠0).
logaN(3)换底公式：logbN＝logb(a，b均大于零且不等于1).
a3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
a>1 0
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. [常用结论与微点提醒] 1.换底公式的两个重要结论 1n
(1)logab＝loga；(2)logambn＝mlogab.
b
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，?1?
?a，－1?，函数图象只在第一、四象限. ??诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( ) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( ) (3)函数y＝ln
1＋x
与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( ) 1－x
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a 11 2.(必修1P73T3改编)已知a＝23，b＝log23，c＝log13，则( ) －1 2 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 3.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a>1，c>1 B.a>10 C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 2 5.计算：log22＝________；2log23＋log43＝________. 考点一 对数的运算 1 ?1?－ 【例1】 (1)计算：?lg4－lg 25?÷1002＝________. ?? (2)(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 5 【训练1】 (1)已知a>b>1.若logab＋logba＝2，ab＝ba，则a＝________，b＝______. x ?2，x≥4， (2)(2018·日照调研)已知函数f(x)＝?则f(2＋log23)的值为( ) ?f（x＋1），x<4， A.24 B.16 C.12 D.8 考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2018·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( ) ?log2x，x>0，(2)(2018·衡水调研)已知函数f(x)＝?x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0 ?3，x≤0，有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( ) A.0 (2)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度1 比较对数值的大小