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第三章

习题3-1

1． 设s=

1２dsgt，求2dtdsdtt?2t?2．

解：

12gt?g?4s(t)?s(2)2?lim?lim2 t?2t?2t?2t?21 ?limt?21g(t?2)?2g 22． 设f(x)=

1，求f?(x0) (x0≠0)． x1?1?1解：f?(x)?()??(x)??2

xx f?(x0)??21(x0?0) 2x03．（1）求曲线y?x上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线y?x相切的直线方程； （3）求y?e上点（2，e）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与y?e相切的直线方程。

解：略。

4． 下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：

(1) lim?x?0xx22f(x0??x)?f(x0)=A;

?xx?x0 (2) f(x0)=0, limf(x)＝A； x0?x(3) limf(x0?h)?f(x0?h)=A．

h?0hf(x0?x)?f(x0)f[x0?(?x)]?f(x0)??lim??f?(x0) 解：(1)limx?0?x?0x?x ?A??f?(x0) (2)

x?x0limf(x)?f(x0)f(x)??lim??f?(x0)

x?x0x0?xx?x0

?A??f?(x0)

f(x0?h)?f(x0?h)

h?0h[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)] ?lim

h?0hf(x0?h)?f(x0)f[x0?(?h)]?f(x0) ?lim ?limh?0?h?0h?h (3)

lim ?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) ?A?2f?(x0) 5． 求下列函数的导数： (1) y=x；(2) y=

13x2；(3) y=12x23x25．

x 解：(1)

y?x?x

121?11 ?y??(x)??x2? 22x (2)

y?x?23

235?1?2?222 ?y??(x)???x3??x3??

35333x?23?5216 (3)

y?xxx162?x

1?51 ?y??(x)??x6?

6566x6． 讨论函数y=3x2在x=0点处的连续性和可导性． 解：

lim3x?0?f(0)

x?03f(x)?f(0)x?01 lim?lim?lim??

32x?0x?0x?0x?0xx ?函数y?3x在x?0点处连续但不可导。

7． 试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f′(x)是偶（奇）函数。 证：

f(x)为偶函数

?f(?x)?f(x)

f(x)?f(0)f(?x)?f(0) ?limx?0x?0x?0x?0f(?x)?f(0) ??lim??f?(0)，即2f?(0)?0

x?0?x?0 ?f?(0)?lim 故f?(0)?0

8． 求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：

(1) y＝???sinx,x?0,?x,x?1,； (2) y=x0?1． x?0?203??x,x?0,?x,x?1,3f(x)?f(0)x?02f??(0)?lim?lim?limx?0 ??x?0?x?0x?0x?0x解：(1)

f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)sinx?0?lim?1 x?0?x?0x ?f??(0)?f??(0) ?函数在x?0处不可导。 (2)

2f(x)?f(1)x?1f??(1)?lim?lim?lim(x?1)?2 ??x?1?x?1x?1x?1x?1 f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)x?111 ?lim?lim?x?1?x?1x?1?x?12x?1 ?f??(1)?f??(1)

?函数在x?1处不可导。

9． 设函数

?x2,x?1,f(x)= ?

?ax?b,x?1.为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?

解：为使f(x)在x?1处连续，必须f(1?0)?f(1?0)?f(1)， f(1?0)?limf(x)?lim(ax?b)?a?b ??x?1x?1f(x)?limx?1，f(1)?1 f(1?0)?lim??x?1x?12 ?a?b?1?b?1?a (1) 为了使f(x)在x?1处可导，必须f??(1)?f??(1) f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)ax?b?1ax?a?lim?lim?a x?1?x?1?x?1x?1x?1