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2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题
1.（2019? 湖北黄石? 10 分）如图，已知抛物线 y＝x+bx+c 经过点 A（﹣1，0）、B（5，0）．
（1） 求抛物线的解析式，并写出顶点 M 的坐标；
2
（2） 若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积；
（3） 定点 D（0，m）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3
个单位得到一条新的抛物线，点 P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d（用含 m 的代数式表示）
【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），即可求解； （2）S 四边形 AMBC＝AB（yC﹣yD），即可求解； （3）抛物线的表达式为：y＝ x，即可求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x﹣4x﹣5）＝x﹣x ﹣ ，
点 M 坐标为（2，﹣3）；
（2）当 x＝8 时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点 C（8，9）， S 四边形 AMBC＝AB（yC﹣yD）＝ ×6×（9+3）＝36；
（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x﹣4x﹣5）＝（x﹣2）﹣3，
抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到一条新的抛物线， 则新抛物线表达式为：y＝ x， 则定点 D 与动点 P 之间距离 PD＝∵
，PD 有最小值，当 x＝3m﹣时，
＝
．
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2
2
2
2
2
＝ ，
PD 最小值 d＝
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．
2.（2019? 贵州毕节 12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产
每袋成本 10 元．试销阶段每袋的销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表：
x（元） y（袋） 15 25 20 20 30 10 … …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求：
（1） 日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式；
（2） 假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大， 每
袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量 y（袋）与销售价 x（元） 的函数关系式即可
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】解：
（1） 依题意，根据表格的数据，设日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为 y
＝kx+b 得
，解得
故日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40
（2） 依题意，设利润为 w 元，得w＝
2
（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x+50x+400整理得 w＝﹣（x﹣25）+225 ∵﹣1＜0
2
∴当 x＝2 时，w 取得最大值，最大值为 225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利
润是 225 元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润＝一件的利润× 销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
3 （2019?山东省滨州市 ?14 分）如图①，抛物线 y＝﹣x+ x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与 x 轴交于点 D．
2
（1） 求直线 AD 的函数解析式；
（2） 如图②，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点
①当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； ②当点 P 到直线 AD 的距离为
时，求 sin∠PAD 的值．
【考点】二次函数
【分析】（1）根据抛物线 y＝﹣x+ x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，可以 求得点 A.B.C 的坐标，再根据将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与 x 轴交于点 D，可以求得点 D 的坐标．从而可以求得直线 AD 的函数解析式；
（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点 P 到直线 AD 的距离最大值，进而可以得到点 P 的坐标；
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②根据①中关系式和题意，可以求得点 P 对应的坐标，从而可以求得 sin∠PAD 的值． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝4，则点 A 的坐标为（0，4）， 当 y＝0 时，0＝﹣x+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点 B 的坐标为（﹣4，0），点 C 的坐标为（8，0），
2
∴OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到直线 AD，
∴∠BAD＝90°，
∴OAD＝45°，
∴∠ODA＝45°，
∴OA＝OD，
∴点 D 的坐标为（4，0），
设直线 AD 的函数解析式为 y＝kx+b，
，得
，
即直线 AD 的函数解析式为 y＝﹣x+4；
（2）作 PN⊥x 轴交直线 AD 于点 N，如右图①所示，
设点 P 的坐标为（t，﹣t+t+4），则点 N 的坐标为（t，﹣t+4）， ∴PN＝（﹣ t+ t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣ t+ t， ∴PN⊥x 轴，
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∴PN∥y 轴，
∴∠OAD＝∠PNH＝45°，
作 PH⊥AD 于点 H，则∠PHN＝90°， ∴PH＝
＝
（﹣ t+ t）＝
2
t＝﹣ （t﹣6）+
2
，
∴当 t＝6 时，PH 取得最大值，此时点 P 的坐标为（6，），