内容发布更新时间 : 2024/12/26 17:33:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

n 0 n1 n－1r－1n－r＋1故C＝CC＋ CC＋…＋ CC＋…＋

2n－1n－1nn－1n n－1n

n－11CC， n－1n余下同方法一. …………………………………………………………………………………………10分

012n方法三：由二项式定理，得(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn

nnnn③．

rr－1nn－1

两边求导，得n(1＋x)＝C＋2Cx＋…rCx ＋…＋nCx

nnnnn－1

12

④．

③×④， 得n(1＋x)

－1

2n－1

0122nn12rr＝(C＋Cx＋Cx＋…＋Cx)( C＋2Cx＋…rCxnnnnnnn ＋…＋nCxn－1) ⑤．

左边xn的系数为n C．

2n－1

nnn 1n2n－1rn－r＋1

右边x的系数为C C＋2 CC＋…＋rC C＋…＋

nnnn nn

n1nCC

nnn1021rr－1nn－1＝CC＋2CC＋…＋r CC＋…＋n CC

nnnnnn nn 0112r－1rn－1＝CC＋2 CC＋…＋r CC＋…＋n C

nnnnn nn nC ． nn 0112r－1r由⑤恒成立，可得n C＝CC＋2 CC＋…＋r CC＋…

2n－1nnnnn nn－1n＋n CC．

n n故

f(n)＝C

n 2n－1

成

立． ……………………………………………………………………………………10分