内容发布更新时间 : 2024/5/3 14:42:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十节 函数模型及其应用

[最新考纲] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

1．常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．

(4)指数函数模型：y＝a·b＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·x＋b(a≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较

函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度 图像的变化 值的比较 nx2

kxy＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 nx单调递增 因n而异 随n值变化而各有不同 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜x＜a 3．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． [常用结论]

形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调ax 1

递减．

(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a， 当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝2与函数y＝x的图像有且只有两个公共点．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x0，使ax0＜x0＜logax0.( )

(4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编

1．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )

(注：结余＝收入－支出)

A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月

C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元

D [由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前61

个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．]

6

2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：

2

x2

nxx y 0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x C．y＝2x－2

B．y＝x－1 D．y＝log2 x

2

D [根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.]

3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件

2

12

时的生产成本为C(x)＝x＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企

2业一个月应生产该商品数量为________万件．

12

18 [利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]

24．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．

24－4x3 [设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x2－3)＋18，

∴当x＝3时，y最大．]

2

考点1 用函数图像刻画变化过程

判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

1.(2019·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)．不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m)的图像大致是( )

A B C D

B [设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)．画出函数图像可得其形状与B选项接近，故选B.]

2．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( )

2

2

3