内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:15:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
二、中档题专练
(一)
1.[2016·长春监测]已知函数f(x)=2sinxcosx+23cosx-3. (1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间;
2
?Aπ?(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f?-??26?
133
=3,且sinB+sinC=,求△ABC的面积.
14
π??2
解 (1)f(x)=2sinxcosx+23cosx-3=sin2x+3cos2x=2sin?2x+?,
3??2π
因此f(x)的最小正周期为T==π.
2
f(x)的单调递减区间为2kπ+≤2x+≤2kπ+
π7π??即x∈?kπ+,kπ+?(k∈Z). 1212??
π
2π33π
(k∈Z), 2
π??Aπ?π??Aπ?(2)由f?-?=2sin?2?-?+?=2sinA=3,又A为锐角,所以A=. 3?26???26?3?
a714
由正弦定理可得2R===,
sinA33
2
sinB+sinC=
b+c133
=, 2R14
2
2
2
2
2
13314b+c-ab+c-2bc-a1
则b+c=×=13,由余弦定理可知,cosA===,142bc2bc23可求得bc=40,
1
故S△ABC=bcsinA=103.
2
π
2.[2016·重庆测试] 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD=,3
AB=2,CD=3,M为PC上一点,PM=2MC.
1
(1)证明:BM∥平面PAD;
(2)若AD=2,PD=3,求二面角D-MB-C的正弦值. 解 (1)证明:如图,过点M作ME∥CD交PD于E,连接AE.
EMPM2
又PM=2MC,故==,因为CD=3,所以EM=2.
CDPC3
因为AB∥CD,故AB∥EM.
而AB=2,所以AB綊EM,故四边形ABME为平行四边形,从而BM∥AE,又AE?平面PAD,
BM?平面PAD,所以BM∥平面PAD.
(2)以D为坐标原点,DC,DP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
由已知AD=AB=2,∠BAD=
π3
ππ
,故△ABD为等边三角形,所以DB=2,∠ABD=.因为33
AB∥CD,故∠BDC=.记B点的坐标为(xB,yB,0),则xB=DB·sin∠BDC=3,yB=DB·cos
∠BDC=1,即B(3,1,0).
→
3).
2
→
由已知PD=DC=3,故D(0,0,0,),P(0,0,3),C(0,3,0),DP=(0,0,3),PC=(0,3,-
→→→→2
由PM=2MC,故PM=PC=(0,2,-2),DM=DP+PM=(0,2,1),即M(0,2,1).
3
→
→
→
所以DB=(3,1,0),MC=(0,1,-1),BC=(-3,2,0),设平面BDM的法向量为n1
=(x1,y1,z1),平面BCM的法向量为n2=(x2,y2,z2).
→
23),
→
3x1+y1=0, 故可取n1=(-1,3,-
由n1·DM=0,n1·DB=0,得{2y1+z1=0,
→
?y2-z2=0,
由n2·MC=0,n2·BC=0,得?
?-3x2+2y2=0,
→→
故可取n2=(2,3,3),
从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos〈n1,n2〉=36
故所求二面角D-MB-C的正弦值为.
8
n1·n210
=-,
|n1|·|n2|8
3.[2016·贵阳监测]在某校科普知识竞赛前的模拟测试中,得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.
(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛,你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由;
(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个,记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
68+76+79+86+88+95解 (1)学生甲的平均成绩x甲==82,学生乙的平均成绩x6=
71+75+82+84+86+94
=82,
6
12222222
又s甲=×[(68-82)+(76-82)+(79-82)+(86-82)+(88-82)+(95-82)]=
677,
乙
3