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计算n阶行列式的若干方法举例

20111113班孟遵制涛

有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式

00Dn?n?1000000n010200

解 Dn中不为零的项用一般形式表示为

a1n?1a2n?2an?11ann?n!.

(n?1)(n?2)，故 2该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于

Dn?(?1) 2．利用行列式的性质计算

(n?1)(n?2)2n!.

例2 一个n阶行列式Dn?aij的元素满足

aij??aji,i,j?1,2,,n,

则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由aij??aji知aii??aii，即

aii?0,i?1,2,故行列式Dn可表示为

0?a12Dn??a13?a1na120?a23?a2na13a230?a3n,n

a1na2na3n 0由行列式的性质A?A?

1

0a12Dn?a13a1n?a120a23a2n0?a12?a13?a230a3na120?a23?a2na13a230?a1n?a2n?a3n 0a1na2na3n 0?(?1)n?a13?a1n?a3n?(?1)nDn

当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n阶行列式

abD?bbbabbbbabbbb a 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

a?(n?1)ba?(n?1)bD?a?(n?1)ba?(n?1)bbabb11?[a?(n?1)b]11bbabbabbbbabbbb abbb a 2

10?[a?(n?1)b]00bbb00a?ba?b00a?b00

?[a?(n?1)b](a?b)n?1

4．降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4 计算n阶行列式

a000a0Dn?00a000100010000a00a

解 将Dn按第1行展开

a000a0Dn?a00a00000a000000a0?(?1)n?1a000100

a0?an?(?1)n?1(?1)nan?2

?an?an?2.

5．逆推公式法

逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。

例5 证明

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