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生活的色彩就是学习

第2课时 利用空间向量求空间角

(对应学生用书第125页)

求异面直线的夹角 如图7-7-15，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.

图7-7-15

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD夹角的余弦值．

[解] (1)证明：连接OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2，O是BD的中点，知CO＝3，AO＝1，AO⊥BD. 在△AOC中，AC＝AO＋OC， 则AO⊥OC．

又BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD.

(2)如图建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(－→→

1,0,0)，AB＝(1,0，－1)，CD＝(－1，－3，0)，

2

2

2

→→|AB·CD|2→→

所以|cos〈AB，CD〉|＝＝.

→→4|AB||CD|即异面直线AB与CD夹角的余弦值为

2. 4

[规律方法] 利用向量法求异面直线夹角的步骤 1选好基底或建立空间直角坐标系. 2求出两直线的方向向量v1，v2. |v1·v2|3代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解. |v1||v2|?π?易错警示：两异面直线夹角的范围是θ∈?0，?，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当2??K12的学习需要努力专业专心坚持

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异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角. [跟踪训练] (2017·湖南五市十校3月联考)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD夹角的余弦值为________.

【导学号：79140254】

1

[设等边三角形的边长为2. 4

取BC的中点O，连接OA、OD，∵等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，∴OA，OC，

OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0，3)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(3，0,0)， →→

∴AB＝(0，－1，－3)，CD＝(3，－1,0)， →→AB·CD11→→

∴cos〈AB，CD〉＝＝＝，

→→2×24|AB||CD|1

∴异面直线AB和CD夹角的余弦值为.]

4

求直线与平面的夹角 (2017·浙江高考)如图7-7-16，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．

图7-7-16

(1)证明：CE∥平面PAB；

(2)求直线CE与平面PBC夹角的正弦值．

[解] (1)证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.

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因为E，F分别为PD，PA的中点， 1

所以EF∥AD且EF＝AD.

21

又因为BC∥AD，BC＝AD，

2所以EF∥BC且EF＝BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF. 因为BF平面PAB，CE?/平面PAB， 所以CE∥平面PAB.

(2)分别取BC，AD的中点M，N. 连接PN交EF于点Q，连接MQ.

因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点， 所以Q为EF的中点．

在平行四边形BCEF中，MQ∥CE. 由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.

1

由DC⊥AD，BC∥AD，BC＝AD，N是AD的中点得BN⊥AD.

2所以AD⊥平面PBN. 由BC∥AD得BC⊥平面PBN， 那么平面PBC⊥平面PBN. 过点Q作PB的垂线， 垂足为H，连接MH.

MH是MQ在平面PBC上的射影，

所以∠QMH是直线CE与平面PBC的夹角． 设CD＝1.

在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝2得CE＝2， 1

在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝3得QH＝，

41

在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝2，

4

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