内容发布更新时间 : 2024/12/23 7:54:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
7-7-5.容斥原理之最值问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:AB?A?B?AB(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:AB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:AB,即阴影面积.
1.先包含——A?B
重叠部分AB计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A?B?AB
把多加了1次的重叠部分AB减去.
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求A?B(意思是把A、B的一
切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数).
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数.用符号表示为:ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC.图示如下:
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图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数,大圆表示C的元素的个数.
1.先包含:A?B?C
重叠部分AB、BC、CA重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A?B?C?AB?BC?AC
重叠部分ABC重叠了3次,但是在进行A?B?C? AB?BC?AC计算时都被减掉了.
3.再包含:A?B?C?AB?BC?AC?ABC.
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
【例 1】 “走美”主试委员会为三~八年级准备决赛试题。每个年级12道题,并且至少有
8道题与其他各年级都不同。如果每道题出现在不同年级,最多只能出现3次。本届活动至少要准备 道决赛试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯,4年级,决赛,第9题 【解析】 每个年级都有自己8道题目,然后可以三至五年级共用4道题目,六到八年级共用
4道题目,总共有8?6?4?2?56(道)题目。
【答案】56题
【例 2】 将1~13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区
域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问:和最大是多少?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
例题精讲
【解析】 越是中间,被重复计算的越多,最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小
依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为:
13×4+(12+11+10+9)×3+(8+7+6+5)×2+(4+3+2+1)=240.
【答案】240
【例 3】 如图,5条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段上恰有1994个点被染
成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 如下图,下图中“”位置均有两条线段通过,也就是交点,如果这些交点所对应
的线段都在“”位置恰有红色点,那么在五角星上重叠的红色点最多,所以此时
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显现的红色点最少,有1994×5-(2-1)×10=9960个.
【答案】9960
【例 4】 某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球.那
么,这个班至少有多少学生这三项运动都会?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 (法1)首先看至少有多少人会游泳、自行车两项,由于会游泳的有27人,会骑
自行车的有33人,而总人数为48人,在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下,两项都会的学生至少有27?33?48?12人,再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数,至少有12?40?48?4人.
该情况可以用线段图来构造和示意:
23|24总人数游泳自行车游泳0|115|1627|2827人33人40人48|48人
(法2)设三项运动都会的人有x人,只会两项的有y人,只会一项的有z人, 那么根据在统计中会n项运动的学生被统计n次的规律有以下等式:
?3x?2y?z?27?33?40? ?x?y?z?48
?x,y,z?0? 由第一条方程可得到z?100?3x?2y,将其代入第二条式子得到: 100?2x?y?48,即2x?y?52①
而第二条式子还能得到式子x?y?48,即2x?y?48?x② 联立①和②得到48?x?52,即x?4.可行情况构造同上. 【答案】4
【巩固】某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语
竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有 人.
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据题意可知,该班参加竞赛的共有28?23?20?71人次.由于每人最多参加两
科,也就是说有参加2科的,有参加1科的,也有不参加的,共是71人次.要求参加两科的人数最多,则让这71人次尽可能多地重复,而71?2?351,所以至多有35人参加两科,此时还有1人参加1科.
那么是否存在35人参加两科的情况呢?由于此时还有1人是只参加一科的,假设这个人只参加数学一科,那么可知此时参加语文、数学两科的共有(28?22?20)?2?15人,参加语文、英语两科的共有28?15?13人,参加数学、英语两科的共有20?13?7人.也就是说,此时全班有15人参加语文、数学两科,13人参加语文、英语两科,7人参加数学、英语两科,1人只参加数学1科,还有14人不参加.检验可知符合题设条件.所以35人是可以达到的,则参加两科的最多有35人.(当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语)
【答案】35
234【巩固】60人中有的人会打乒乓球,的人会打羽毛球,的人会打排球,这三项运动
345都会的人有22人,问:这三项运动都不会的最多有多少人?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
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