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基于空间解析几何方法的立体几何问题解析

作者：崔秋珍

来源：《教育教学论坛》2012年第42期

摘要：向量运算与解析几何、立体几何、函数和三角有着密切的联系，也是近年高考的一种趋势题型。空间解析几何中的向量运算和线面关系为解决立体几何问题提供了一个代数化的方法。

关键词：空间解析几何；立体几何；向量

中图分类号：G642.3？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0186-03 空间图形的平行、垂直、距离、夹角问题是立体几何解决的主要问题。常规的立体几何方法主要依据定理和概念、借助各种几何图形的不同变化、利用逻辑推理对空间图形的性质进行研究，一些复杂的题型解题时常常需要找到准确的切入点，通常需要构造辅助线、辅助面转化为平面几何问题。这些问题的本身常具有技巧性和随机性，对学生要求具有较强的空间想象和作图能力。而利用空间解析几何的向量和线面关系解决立体几何问题越来越多地应用于实践教学。空间向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是联系代数与几何的纽带。借助空间向量，常使得一些复杂问题的处理变得直观和简单易行。本文试从几个方面探讨空间解析几何方法在解决立体几何问题的应用。

一、空间解析几何方法解决空间图形平行与垂直关系

空间图形的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行。可以分别转化为向量平行、向量共面和垂直问题解决。设直线l的方向向量为■，平面π的法向量为■，两直线l1和l2方向向量为■■和■■，平面π1和π2的法向量为■■和■■，则上述问题的向量关系表示为： l1//l2//？圳■■//■■？圳■■=k■■，k∈R（线线平行）；

l//π？圳■⊥■？圳■·■=0，或■与π内的两个相交向量■、■共面。（线面平行）； π1//π2？圳■■//■■？圳■■=k■■，k∈R（面面平行）；

空间图形的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直。可以分别转化为向量垂直、向量平行问题解决。

l1⊥l2？圳■■⊥■■？圳■■·■■=0（线线垂直）；

l⊥π？圳■//■？圳■=k■，k∈R，或■与π内的两个相交向量■、■垂直。即■，■=0，■·■=0（线面垂直）；

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π1⊥π2？圳■■⊥■■？圳■·■■=0（面面垂直）。

例1（2012新课标全国卷）如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=■AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。证明：DC1⊥BC。（线线垂直）

证明：以C为坐标系原点，■，■，■为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系C-xyz，设AC=1，则直三棱柱ABC-A1B1C1各点在坐标系下的坐标为A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、A1（1，0，2）、B1（0，1，2）、C1（0，0，2）、D（1，0，1）.DC1⊥BC？圳DC1·BC=0，∵DC1=（-1，0，1），BC=（0，-1，0），DC1·BC=0+0+0=0，∴DC1⊥BC。

例2（2012大纲全国卷）如图2，四棱锥中P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2■，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。证明：PC⊥平面BED。（线面垂直） 证明：∵PA⊥底面ABCD，ABCD为菱形，∴AC⊥BD，以A为坐标原点，■、■、■分别为x轴、y轴、z轴的正向，建立空间直角坐标系A-xyz。则C（2■，0，0），A（0，0，0），P（0，0，2），PC=2■，∵PE= 2EC

∴EC=■。所以E（■，0，■）。设D（■，λ，0），其中λ>0，则B（■，-λ，0）。于是：

■=（2■，0，-2），■=（■，λ，■），■=（■，-λ，■）。∵■·■=2■×■+0×λ+（-2）×■=0 ■·■=2■×■+0×（-λ）+（-2）×■=0

∴PC⊥BE，PC⊥DE，从而PC⊥平面BED。 二、空间解析几何方法解决空间图形间的夹角和距离

立体几何中的异面直线夹角、直线与平面的夹角、二面角的平面角的确定在向量运算中可以如下表示。

两直线l1和l2的方向向量■■和■■的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。可由公式 cosφ=|cos（■■，■■）|=■确定。

设直线l与它在平面π上的投影夹角为φ。因为φ=■-（■，■），所以sinφ=cos（■，■）=■。

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设两平面的夹角为φ，两平面π1和π2的法向量为■■和■■，当0≤（■■，■■）≤■时，两平面的夹角为（■■，■■），当■

平面外一点到平面的距离：设P为平面π外一点，■为π的法向量，A为平面内任一点，■与π的夹角为θ（0

异面直线间的距离：设异面两直线l1和l2的方向向为量■1和■2。■为与l1、l2公垂线共线的向量。由■⊥■1？圳■·■1=0，■⊥■2？圳■·■2=0。解得■。在l1和l2上分别取点A和B。则■在■上投影的绝对值即为所求。d=■。

例3（2012上海卷）如图4，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2■，PA=2。求异面直线BC与AE所成角的大小。 解：以A为坐标原点，■、■、■为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz。则有：A（0，0，0），B（2，0，2），C（2，2■，0），E（1，■，1）。■=（1，■，1），■=（0，2■，0）。设■、■的夹角为φ，则cosφ=cos（■，■）=■=■，φ=■。所以异面直线BC与AE所成角的大小是■。

例4（2012山东卷）如图4所示几何体，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。求二面角F-BD-C的余弦值。 解：因为四边形ABCD是等腰梯形，∠CBA=∠DAB=60°

连接BD，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，又CB=CD，∴∠CBD=∠CDB ∴∠ABD=∠CDB =■∠CBA=30°。

∴∠ADB=90°，■⊥■，所以■⊥■。又FC⊥平面ABCD，所以■、■、■两两垂直。以C为坐标原点，■、■、■为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系C-xyz。设CB=1，则C（0，0，0），B（0，10），D（■，-■，0），F（0，0，1）。■=（■，-■，0），■=（0，-1，1）。取■=（0，0，1）为平面BDC法向量。设平面BDF的一个法向量为■=（x，y，z），则■⊥■，■⊥■，即■·■=0，■x-■y=0，■·■=0，-y+z=0。取y=1，z=1，x=■。■=（■，1，1）。cos（■，■）=■=■=■。

所以二面角F-BD-C的余弦值为■。

例5如图5，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高。