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课程编号：A073003 北京理工大学

2010-2011学年第一学期

线性代数B试题 A卷

班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________

?025????32?0一、（10分）已知A??013?，B??，求行列式??43?3B????100???A*0的值。

?3?51???1二、（10分）已知矩阵A??1?10?，矩阵X满足A*XA?2A?XA，求X。

3??102???

三、（10分）对下列线性方程组

?2x1??x2?x3?1???x1?x2?x3?2 ?4x?5x?5x??123?1试讨论：当?取何值时，它有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

（用导出组的基础解系表示通解） 四、（10分）已知

?1?(?2,1,0,3), ?2?(1,?3,2,4), ?3?(3,0,2,?1), ?4?(2,?2,4,6)

(1) 求向量组?1,?2,?3,?4的秩和一个极大无关组; (2) 用所求的极大无关组线性表出剩余向量。

五、（10分）已知R3的一个基: ?1?(0,1,1),?2?(1,0,1),?3?(1,1,0)。 (1) 求R3的自然基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵; (2) 求向量??(2,?1,3)关于基?1,?2,?3的坐标。

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六、（10分）设X0是非齐次线性方程组AX?b的一个特解，X1,X2,?,Xt是其导出方程组AX?0的一个基础解系，证明：X0,X1,X2,?,Xt线性无关。

七、（10分）已知线性方程组AX?0的通解为k1(1,0,0)T?k2(1,1,0)T，其中k1,k2为任意常数，求此方程组的解空间的一个标准正交基。

222八、（10分）已知二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x2x3。

(1) 用正交变换将它化为标准形，并给出所用的正交变换; (2) 判断二次型f(x1,x2,x3)是否正定。

九、（10分）设?,?为3元单位列向量，且?T??0，记A???T???T。证明： (1) 齐次线性方程组AX?0有非零解；

?100?(2) A相似于矩阵?010?。

????000??

十、（10分）设?1,?2,?1,?2都是3元向量，且?1,?2线性无关，?1,?2线性无关。 (1) 证明：存在非零向量?，使得?既可由?1,?2线性表出，又可由?1,?2线性表出； (2) 当?1?(1,2,1)T,?2?(2,5,3)T，?1?(2,3,?1)T,?2?(?1,0,3)T时，求出所有既可由

?1,?2线性表出，又可由?1,?2线性表出的向量。

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