内容发布更新时间 : 2026/4/14 14:27:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 1.2 平面直角坐标轴中的伸
缩变换
学习目标：1.理解平面直角坐标系的作用．(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示．(易混点)
教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标
在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.( ) (2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．( )
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(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点．( ) [解析] (1)√ (2)√
(3)× 因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上． [答案] (1)√ (2)√ (3)×
教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系
曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线．
填空：
(1)x轴的直线方程为________．
(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________． (3)方程2x＋y＝1表示的曲线是____________． [答案] (1)y＝0 (2)x＋y＝1 (3) 椭圆 教材整理3 平面直角坐标轴中的伸缩变换
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．
2
2
2
2
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x＋y＝4的图形
2变为椭圆．( )
(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置．( ) (3)在伸缩变换下，直线依然是直线．( )
[解析] (1)√ 因为x＋y＝4的圆的形状变为方程＋y＝1表示的椭圆．
4(2)× 平移变换只改变位置，不改变形状．
(3)√ 直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化． [答案] (1)√ (2)× (3)√
2
2
x2
2
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利用平面直角坐标系确定位置 【例1】 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？
[精彩点拨] 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，
C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．
[尝试解答]
设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，
C(－5,23)．
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∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，
∴直线PD的方程为y－3＝13
(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x2y2
4－5＝1(x≥2)．②
联立①②，解得P点坐标为(8,53)． ∴k53
PA＝8－3
＝3.
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
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