内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:50:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 随机事件及其概率

自然界和社会上发生的现象可以分为两大类： 一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。

另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。

随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。 随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1 随机事件

一、随机试验与样本空间

我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。

举例如下：

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；

E2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H、反面T出现的情况； E3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H出现的次数； E4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数； E5：记录某超市一天内进入的顾客人数；

E6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。 随机试验具有以下三个特点：

（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果； （2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现； （3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验E的所有可能结果的集合称为E的样本空间，记作?。样本空间的元素，即

??。 E的每个结果，称为样本点，一般用?表示，可记???上面试验对应的样本空间：

?1??H,T?；

?2??HH,HT,TH,TT?； ?3??0,1,2?；

?4??1,2,3,4,5,6?； ?5??0,1,2,3,4,??；

?6??tt?0?。

注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。

二、随机事件

试验E样本空间?的子集称为E的随机事件，简称事件，通常用大写字母A，B，C,…表示。设A是一个事件，当且仅当试验中出现的样本点??A时，称事件在该次试验中发生。

由一个样本点组成的单点集称为基本事件。

样本空间?称为E的必然事件，每次试验中它都发生。空集?称为E的不可能事件，每次试验中它都不发生。

例如，E4中“出现偶数点”、“出现奇数点”都是随机事件，“出现点数不超过6”是必然事件，“出现点数超过7”是不可能事件。

【例】一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任意取出一球，试写出样本空间及下列事件是由哪些基本事件组成的。

（1）事件A：“摸出的是白球”； （2）事件B：“摸出的是黑球”。

解 先对球编号，令1、2、3号球为白球，4、5号球为黑球，并设?i?“取得第i号球”其中(1?i?5)。则样本空间????,?,?,?,??, 和

12345（1）事件A???1,?2,?3?； （2）事件B?

??,??。

45三、事件的关系与运算

事件间的关系和运算按照集合间的关系和运算来处理。 1．事件的包含与相等 在试验中，若事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A或称事件A包 含于事件B，记为B?A或A?B。此时，事件A中的基本事件必属于事件B，即A是B的一个子集。

例如，E4中，若记A??1,3,5?表示“出现奇数点”，B??1,2,3,4,5?表示“出现点数不超过5”，显然A?B，即事件B包含事件A。 事件的包含关系有以下性质： （1）A?A；

（2）若A?B，B?C，则A?C； （3）??A??。

若A?B，且B?A，则称事件A和事件B相等，记为A?B。此时，A与B拥有完全相同的基本事件。

2．事件的并（和运算）

在试验中，事件A与事件B至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并（或和事件），记为AB。 此时，AB就是由属于事件A或属于事件B的全部基本事件组成的集合。

例如，E4中，若记A??1,3,5?表示 “出现奇数点”，B??1,2,3,4?表示“出现点数

1,2,3,4,5?表示“出现点数不超过5”不超过4”，则A?B??。

易知，若A?B，则A?B?B。 类似地，称“n个事件A1,A2,,An中至少有一个发生”的事件为n个事件A1，A2，…，

An的并，记为

nA1A2An?i?1Ai。

3．事件的交（积运算）

在试验中，事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交（或积事件），记为AB(或AB)。此时，AB就是由既属于事件A又属于事件B的全部基本事件组成的集合。

例如，E4中，若记A??1,3,5?表示 “出现奇数点”，B??1,2?表示“出现点数不超过2”， 则AB??1?表示“出现点数为1”。 易知，若A?B，则AB?A。

类似地，称“n个事件A1,A2,交，记作

n,An同时发生”的事件为n个事件A1，A2，…，An的

A1A2An?i?1Ai 或 A1A2An??Ai

i?1n4．事件的差（差运算）

在试验中，事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差（或差事件），

记为A?B。此时，A?B就是由属于事件A而不属于事件B的全部基本事件组成的集合。

例如，E4中，若记A??1,3,5?表示 “出现奇数点”，B??1,2,3,4?表示“出现点数不超过4”，则A?B??5?表示“出现点数为5”。

5．互不相容事件

在试验中，若事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B是互不相容的 (或互斥的)，记为AB?? (或AB??)。此时，事件A与事件B不相交，或它们的交是空集，即事件A与事件B没有公共的基本事件。

例如，E2中，若记A??1,3,5?表示 “出现奇数点”，B??2,4?表示“出现小于5的偶数点”，则AB??，即A,B是互不相容事件，不可能同时“出现奇数点”和“出现偶

数点”。

在一次试验中，任意两个基本事件都不能同时发生，所以基本事件是互不相容的。

对于n个事件A1,A2,此n个事件A1,A2,,An，如果其中任取两个Ai,Aj(i?j)，均有AiAj??，则称

,An是两两互不相容的。

6．对立事件（逆事件）

在试验中，若事件A与事件B必有一个发生且仅有一个发生，即事件A和事件B满足条件：

A?B?? 且 AB?? 则称事件A和事件B是对立事件（或互逆事件），记为B?A，A?B。因此，事件A的逆事件A就是由属于?而不属于A的全部基本事件组成的集合，即A是A的补集。

例如，E4中，若记A??1,3,5?表示“出现奇数点”，则A??2,4,6?表示“出现偶数

点”。

易知有以下性质：

（1） A?A （2） A???A （3） A?B?AB

注意：互逆事件与互不相容事件是两种不同的关系。在一次试验中，两个互不相容事件仅仅是不能同时发生，并不能排除它们同时都不发生；而两个互逆的事件不仅不能同时发生，而且同时不发生也是不可能的。所以有结论：互逆事件一定是互不相容的，但互不相容事件却不一定是互逆的。

常见的事件的关系与运算的规则归纳如下： 1．有关包含

??A??，A?A?B， A?B?A， AB?A

2．有关并

A???A， A????， A?A??，A?A?A，

A?B?B?A， (A?B)?C?A?(B?C)

3．有关交

AA?A， AA??， A???，A??A， AB?BA，(AB)C?A(BC)

4．分配律

A?(B?C)?(A?B)?(A?C)， (A?B)?C?(A?C)?(B?C)， (AB)C?(AC)(BC)， A(BC)?(AB)(AC)

5．德·摩根律

A?B?A?B， A?B?A?B

6．有关逆与差

???，???，A?A， A???A，A?B?AB，

(A?B)?A?A，(A?B)?B?A?B

【例1】 一名射手连续向某个目标射击三次，令A?“第1次击中目标”，B?“第2次击中目标”，C?“第3次击中目标”，试用A,B,C表示以下各事件：