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初中数学竟赛辅导资料(1)

数的整除（一）

内容提要：

如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.

一些数的整除特征 除 数 2或5 4或25 3或9 11 7,11,13 能被整除的数的特征 末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 8或125 末三位数能被8或125整除 能被7整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）

能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除

如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）

例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。求x,y

解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6. ∵328＋2x9＝567，∴x=3

例2己知五位数1234x能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，

当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4X能被4整除时，X＝0，4，8 ∴X＝8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，

但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行

调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习

１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）

①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数12X34能被11整除，那么 X＝__________- 4．当 m=_________时，35m5能被25整除 5．当 n=__________时，9610n能被7整除

6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________

8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________ 9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10． 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数

共有几个？为什么？ 11． 己知五位数1234A能被15整除，试求A的值。

12． 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13．在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）

初中数学竞赛辅导资料（2）

倍数 约数

内容提要

1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，

例如5的倍数有±5，±10，……。

4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数

若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除

例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。 例题

例1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以

应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。 解：列表如下 正整数 正约数 2 22 23 24 1，2 1，2，4 1，2， 4，8 个数计 正整数 正约数 2 3 4 3 32 33 34 1，3 1，3，32 1，3， 32，33 个数计 正整数 正约数 2 3 4 2×3 22×3 22×32 1，2， 3，6 1，2，3， 4，6，12 个数计 4 6 1，2，3，4，6， 9 9，12，18，36 1，2，4， 5 8，16 1，3，32， 5 33，34 其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如 求360的正约数的个数

解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）

例2 用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5

∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360， 记作